MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf2d 23959
Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf2d.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf2d (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d
StepHypRef Expression
1 ismbf2d.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 elxr 12334 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3 ismbf2d.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4 oveq1 6989 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5 iooid 12588 . . . . . . . 8 (+∞(,)+∞) = ∅
64, 5syl6eq 2832 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
76imaeq2d 5775 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ∅))
8 ima0 5790 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
9 0mbl 23858 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
108, 9eqeltri 2864 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
117, 10syl6eqel 2876 . . . . 5 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
1211adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13 fimacnv 6670 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
141, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15 ismbf2d.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2868 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17 oveq1 6989 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18 ioomax 12633 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
1917, 18syl6eq 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
2019imaeq2d 5775 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ))
2120eleq1d 2852 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
2216, 21syl5ibrcom 239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
2322imp 398 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
243, 12, 233jaodan 1411 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
252, 24sylan2b 585 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26 ismbf2d.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27 oveq2 6990 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
2827, 18syl6eq 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
2928imaeq2d 5775 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ℝ))
3029eleq1d 2852 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
3116, 30syl5ibrcom 239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
3231imp 398 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33 oveq2 6990 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34 iooid 12588 . . . . . . . 8 (-∞(,)-∞) = ∅
3533, 34syl6eq 2832 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
3635imaeq2d 5775 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ∅))
3736, 10syl6eqel 2876 . . . . 5 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3837adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3926, 32, 383jaodan 1411 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
402, 39sylan2b 585 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
411, 25, 40ismbfd 23958 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3o 1068   = wceq 1508  wcel 2051  c0 4181  ccnv 5410  dom cdm 5411  cima 5414  wf 6189  (class class class)co 6982  cr 10340  +∞cpnf 10477  -∞cmnf 10478  *cxr 10479  (,)cioo 12560  volcvol 23782  MblFncmbf 23933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-pm 8215  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-dju 9130  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-xadd 12331  df-ioo 12564  df-ico 12566  df-icc 12567  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-clim 14712  df-sum 14910  df-xmet 20255  df-met 20256  df-ovol 23783  df-vol 23784  df-mbf 23938
This theorem is referenced by:  mbfres  23963  mbfmulc2lem  23966  mbfposr  23971  ismbf3d  23973  iblabsnclem  34436  ftc1anclem1  34448  ftc1anclem6  34453
  Copyright terms: Public domain W3C validator