Theorem ismbf2d 25689

Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		elxr 13111	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3		ismbf2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5		iooid 13370	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞(,)+∞) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
7	6	imaeq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ∅))
8		ima0 6061	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
9		0mbl 25588	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ dom vol
10	8, 9	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
11	7, 10	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
12	11	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13		fimacnv 6708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15		ismbf2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18		ioomax 13419	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
19	17, 18	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
20	19	imaeq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ))
21	20	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
22	16, 21	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
23	22	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
24	3, 12, 23	3jaodan 1450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
25	2, 24	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26		ismbf2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
28	27, 18	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
29	28	imaeq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ℝ))
30	29	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
31	16, 30	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
32	31	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34		iooid 13370	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,)-∞) = ∅
35	33, 34	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
36	35	imaeq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ∅))
37	36, 10	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
38	37	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
39	26, 32, 38	3jaodan 1450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
40	2, 39	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
41	1, 25, 40	ismbfd 25688	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1096   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643   “ cima 5646  ⟶wf 6511  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  +∞cpnf 11206  -∞cmnf 11207  ℝ^*cxr 11208  (,)cioo 13342  volcvol 25512  MblFncmbf 25663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xadd 13108  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-sum 15704  df-xmet 21404  df-met 21405  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668

This theorem is referenced by:  mbfres  25693  mbfmulc2lem  25696  mbfposr  25701  ismbf3d  25703  iblabsnclem  38142  ftc1anclem1  38152  ftc1anclem6  38157