Theorem ismbf2d 23959

Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		elxr 12334	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3		ismbf2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4		oveq1 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5		iooid 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞(,)+∞) = ∅
6	4, 5	syl6eq 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
7	6	imaeq2d 5775	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ∅))
8		ima0 5790	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
9		0mbl 23858	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ dom vol
10	8, 9	eqeltri 2864	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
11	7, 10	syl6eqel 2876	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
12	11	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13		fimacnv 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15		ismbf2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17		oveq1 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18		ioomax 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
19	17, 18	syl6eq 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
20	19	imaeq2d 5775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ))
21	20	eleq1d 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
22	16, 21	syl5ibrcom 239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
23	22	imp 398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
24	3, 12, 23	3jaodan 1411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
25	2, 24	sylan2b 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26		ismbf2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27		oveq2 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
28	27, 18	syl6eq 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
29	28	imaeq2d 5775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ℝ))
30	29	eleq1d 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
31	16, 30	syl5ibrcom 239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
32	31	imp 398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33		oveq2 6990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34		iooid 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,)-∞) = ∅
35	33, 34	syl6eq 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
36	35	imaeq2d 5775	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ∅))
37	36, 10	syl6eqel 2876	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
38	37	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
39	26, 32, 38	3jaodan 1411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
40	2, 39	sylan2b 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
41	1, 25, 40	ismbfd 23958	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ w3o 1068   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∅c0 4181  ^◡ccnv 5410  dom cdm 5411   “ cima 5414  ⟶wf 6189  (class class class)co 6982  ℝcr 10340  +∞cpnf 10477  -∞cmnf 10478  ℝ^*cxr 10479  (,)cioo 12560  volcvol 23782  MblFncmbf 23933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-pm 8215  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-dju 9130  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-xadd 12331  df-ioo 12564  df-ico 12566  df-icc 12567  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-clim 14712  df-sum 14910  df-xmet 20255  df-met 20256  df-ovol 23783  df-vol 23784  df-mbf 23938

This theorem is referenced by:  mbfres  23963  mbfmulc2lem  23966  mbfposr  23971  ismbf3d  23973  iblabsnclem  34436  ftc1anclem1  34448  ftc1anclem6  34453