Theorem ismbf2d 25941

Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		elxr 13226	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3		ismbf2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5		iooid 13485	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞(,)+∞) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
7	6	imaeq2d 6054	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ∅))
8		ima0 6071	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
9		0mbl 25840	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ dom vol
10	8, 9	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
11	7, 10	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13		fimacnv 6724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
14	1, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15		ismbf2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18		ioomax 13534	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
19	17, 18	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
20	19	imaeq2d 6054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ))
21	20	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
22	16, 21	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
23	22	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
24	3, 12, 23	3jaodan 1458	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
25	2, 24	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26		ismbf2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
28	27, 18	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
29	28	imaeq2d 6054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ℝ))
30	29	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
31	16, 30	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
32	31	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34		iooid 13485	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,)-∞) = ∅
35	33, 34	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
36	35	imaeq2d 6054	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ∅))
37	36, 10	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
39	26, 32, 38	3jaodan 1458	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
40	2, 39	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
41	1, 25, 40	ismbfd 25940	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  ⟶wf 6527  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323  (,)cioo 13457  volcvol 25764  MblFncmbf 25915

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xadd 13223  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-xmet 21651  df-met 21652  df-ovol 25765  df-vol 25766  df-mbf 25920

This theorem is used by:  mbfres  25945  mbfmulc2lem  25948  mbfposr  25953  ismbf3d  25955  iblabsnclem  38569  ftc1anclem1  38579  ftc1anclem6  38584