MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf2d 25491
Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf2d.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf2d (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d
StepHypRef Expression
1 ismbf2d.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 elxr 13093 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3 ismbf2d.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5 iooid 13349 . . . . . . . 8 (+∞(,)+∞) = ∅
64, 5eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
76imaeq2d 6049 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ∅))
8 ima0 6066 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
9 0mbl 25390 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
108, 9eqeltri 2821 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
117, 10eqeltrdi 2833 . . . . 5 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
1211adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13 fimacnv 6729 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
141, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15 ismbf2d.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18 ioomax 13396 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
1917, 18eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
2019imaeq2d 6049 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ))
2120eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
2216, 21syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
2322imp 406 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
243, 12, 233jaodan 1427 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
252, 24sylan2b 593 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26 ismbf2d.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27 oveq2 7409 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
2827, 18eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
2928imaeq2d 6049 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ℝ))
3029eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
3116, 30syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
3231imp 406 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34 iooid 13349 . . . . . . . 8 (-∞(,)-∞) = ∅
3533, 34eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
3635imaeq2d 6049 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ∅))
3736, 10eqeltrdi 2833 . . . . 5 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3837adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3926, 32, 383jaodan 1427 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
402, 39sylan2b 593 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
411, 25, 40ismbfd 25490 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3o 1083   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4314  ccnv 5665  dom cdm 5666  cima 5669  wf 6529  (class class class)co 7401  cr 11105  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  *cxr 11244  (,)cioo 13321  volcvol 25314  MblFncmbf 25465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-xmet 21221  df-met 21222  df-ovol 25315  df-vol 25316  df-mbf 25470
This theorem is referenced by:  mbfres  25495  mbfmulc2lem  25498  mbfposr  25503  ismbf3d  25505  iblabsnclem  37041  ftc1anclem1  37051  ftc1anclem6  37056
  Copyright terms: Public domain W3C validator