MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf2d 23629
Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf2d.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf2d (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d
StepHypRef Expression
1 ismbf2d.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 elxr 12156 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3 ismbf2d.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4 oveq1 6801 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5 iooid 12409 . . . . . . . 8 (+∞(,)+∞) = ∅
64, 5syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
76imaeq2d 5608 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ∅))
8 ima0 5623 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
9 0mbl 23528 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
108, 9eqeltri 2846 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
117, 10syl6eqel 2858 . . . . 5 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
1211adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13 fimacnv 6491 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
141, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15 ismbf2d.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17 oveq1 6801 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18 ioomax 12454 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
1917, 18syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
2019imaeq2d 5608 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ))
2120eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
2216, 21syl5ibrcom 237 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
2322imp 393 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
243, 12, 233jaodan 1542 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
252, 24sylan2b 575 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26 ismbf2d.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27 oveq2 6802 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
2827, 18syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
2928imaeq2d 5608 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ℝ))
3029eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
3116, 30syl5ibrcom 237 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
3231imp 393 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33 oveq2 6802 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34 iooid 12409 . . . . . . . 8 (-∞(,)-∞) = ∅
3533, 34syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
3635imaeq2d 5608 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ∅))
3736, 10syl6eqel 2858 . . . . 5 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3837adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3926, 32, 383jaodan 1542 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
402, 39sylan2b 575 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
411, 25, 40ismbfd 23628 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3o 1070   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4064  ccnv 5249  dom cdm 5250  cima 5253  wf 6028  (class class class)co 6794  cr 10138  +∞cpnf 10274  -∞cmnf 10275  *cxr 10276  (,)cioo 12381  volcvol 23452  MblFncmbf 23603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xadd 12153  df-ioo 12385  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-sum 14626  df-xmet 19955  df-met 19956  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23608
This theorem is referenced by:  mbfres  23632  mbfmulc2lem  23635  mbfposr  23640  ismbf3d  23642  iblabsnclem  33806  ftc1anclem1  33818  ftc1anclem6  33823
  Copyright terms: Public domain W3C validator