Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf2d 24248
 Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf2d.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf2d (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d
StepHypRef Expression
1 ismbf2d.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 elxr 12503 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3 ismbf2d.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5 iooid 12758 . . . . . . . 8 (+∞(,)+∞) = ∅
64, 5eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
76imaeq2d 5900 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ∅))
8 ima0 5916 . . . . . . 7 (𝐹 “ ∅) = ∅
9 0mbl 24147 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
108, 9eqeltri 2889 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
117, 10eqeltrdi 2901 . . . . 5 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
1211adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13 fimacnv 6820 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
141, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15 ismbf2d.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18 ioomax 12804 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
1917, 18eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
2019imaeq2d 5900 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ℝ))
2120eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
2216, 21syl5ibrcom 250 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
2322imp 410 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
243, 12, 233jaodan 1427 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
252, 24sylan2b 596 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26 ismbf2d.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
2827, 18eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
2928imaeq2d 5900 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ℝ))
3029eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
3116, 30syl5ibrcom 250 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
3231imp 410 . . . 4 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34 iooid 12758 . . . . . . . 8 (-∞(,)-∞) = ∅
3533, 34eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
3635imaeq2d 5900 . . . . . 6 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ ∅))
3736, 10eqeltrdi 2901 . . . . 5 (𝑥 = -∞ → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3837adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 = -∞) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
3926, 32, 383jaodan 1427 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
402, 39sylan2b 596 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
411, 25, 40ismbfd 24247 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∅c0 4246  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523   “ cima 5526  ⟶wf 6324  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667  (,)cioo 12730  volcvol 24071  MblFncmbf 24222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-xmet 20088  df-met 20089  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227 This theorem is referenced by:  mbfres  24252  mbfmulc2lem  24255  mbfposr  24260  ismbf3d  24262  iblabsnclem  35119  ftc1anclem1  35129  ftc1anclem6  35134
 Copyright terms: Public domain W3C validator