MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf2d 25020
Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf2d.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
ismbf2d.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbf2d (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem ismbf2d
StepHypRef Expression
1 ismbf2d.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2 elxr 13044 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ* ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∨ π‘₯ = +∞ ∨ π‘₯ = -∞))
3 ismbf2d.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
4 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = +∞ β†’ (π‘₯(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5 iooid 13299 . . . . . . . 8 (+∞(,)+∞) = βˆ…
64, 5eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (π‘₯ = +∞ β†’ (π‘₯(,)+∞) = βˆ…)
76imaeq2d 6018 . . . . . 6 (π‘₯ = +∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (◑𝐹 β€œ βˆ…))
8 ima0 6034 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ βˆ…) = βˆ…
9 0mbl 24919 . . . . . . 7 βˆ… ∈ dom vol
108, 9eqeltri 2834 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ βˆ…) ∈ dom vol
117, 10eqeltrdi 2846 . . . . 5 (π‘₯ = +∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
1211adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = +∞) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
13 fimacnv 6695 . . . . . . . 8 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = 𝐴)
141, 13syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = 𝐴)
15 ismbf2d.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
17 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = -∞ β†’ (π‘₯(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18 ioomax 13346 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
1917, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (π‘₯ = -∞ β†’ (π‘₯(,)+∞) = ℝ)
2019imaeq2d 6018 . . . . . . 7 (π‘₯ = -∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (◑𝐹 β€œ ℝ))
2120eleq1d 2823 . . . . . 6 (π‘₯ = -∞ β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
2216, 21syl5ibrcom 247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ = -∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol))
2322imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = -∞) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
243, 12, 233jaodan 1431 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∨ π‘₯ = +∞ ∨ π‘₯ = -∞)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
252, 24sylan2b 595 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
26 ismbf2d.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
27 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = +∞ β†’ (-∞(,)π‘₯) = (-∞(,)+∞))
2827, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (π‘₯ = +∞ β†’ (-∞(,)π‘₯) = ℝ)
2928imaeq2d 6018 . . . . . . 7 (π‘₯ = +∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ ℝ))
3029eleq1d 2823 . . . . . 6 (π‘₯ = +∞ β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
3116, 30syl5ibrcom 247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ = +∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol))
3231imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = +∞) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
33 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (π‘₯ = -∞ β†’ (-∞(,)π‘₯) = (-∞(,)-∞))
34 iooid 13299 . . . . . . . 8 (-∞(,)-∞) = βˆ…
3533, 34eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (π‘₯ = -∞ β†’ (-∞(,)π‘₯) = βˆ…)
3635imaeq2d 6018 . . . . . 6 (π‘₯ = -∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ βˆ…))
3736, 10eqeltrdi 2846 . . . . 5 (π‘₯ = -∞ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
3837adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = -∞) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
3926, 32, 383jaodan 1431 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∨ π‘₯ = +∞ ∨ π‘₯ = -∞)) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
402, 39sylan2b 595 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
411, 25, 40ismbfd 25019 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ…c0 4287  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  (class class class)co 7362  β„cr 11057  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195  (,)cioo 13271  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfres  25024  mbfmulc2lem  25027  mbfposr  25032  ismbf3d  25034  iblabsnclem  36170  ftc1anclem1  36180  ftc1anclem6  36185
  Copyright terms: Public domain W3C validator