Theorem ismbf2d 25569

Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		elxr 13015	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3		ismbf2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5		iooid 13273	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞(,)+∞) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
7	6	imaeq2d 6009	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ∅))
8		ima0 6026	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
9		0mbl 25468	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ dom vol
10	8, 9	eqeltri 2827	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
11	7, 10	eqeltrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13		fimacnv 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15		ismbf2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18		ioomax 13322	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
19	17, 18	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
20	19	imaeq2d 6009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ))
21	20	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
22	16, 21	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
23	22	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
24	3, 12, 23	3jaodan 1433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
25	2, 24	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26		ismbf2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27		oveq2 7354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
28	27, 18	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
29	28	imaeq2d 6009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ℝ))
30	29	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
31	16, 30	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34		iooid 13273	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,)-∞) = ∅
35	33, 34	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
36	35	imaeq2d 6009	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ∅))
37	36, 10	eqeltrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
39	26, 32, 38	3jaodan 1433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
40	2, 39	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
41	1, 25, 40	ismbfd 25568	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4283  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616   “ cima 5619  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145  (,)cioo 13245  volcvol 25392  MblFncmbf 25543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21285  df-met 21286  df-ovol 25393  df-vol 25394  df-mbf 25548

This theorem is referenced by:  mbfres  25573  mbfmulc2lem  25576  mbfposr  25581  ismbf3d  25583  iblabsnclem  37729  ftc1anclem1  37739  ftc1anclem6  37744