Theorem ismbf2d 25675

Description: Deduction to prove measurability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbf2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbf2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
ismbf2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbf2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)

Assertion

Ref	Expression
ismbf2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbf2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		elxr 13158	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
3		ismbf2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = (+∞(,)+∞))
5		iooid 13415	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞(,)+∞) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥(,)+∞) = ∅)
7	6	imaeq2d 6078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ∅))
8		ima0 6095	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
9		0mbl 25574	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ dom vol
10	8, 9	eqeltri 2837	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) ∈ dom vol
11	7, 10	eqeltrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
13		fimacnv 6758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
15		ismbf2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
17		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = (-∞(,)+∞))
18		ioomax 13462	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
19	17, 18	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥(,)+∞) = ℝ)
20	19	imaeq2d 6078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ℝ))
21	20	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → ((◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
22	16, 21	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol))
23	22	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
24	3, 12, 23	3jaodan 1433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
25	2, 24	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
26		ismbf2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
27		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)+∞))
28	27, 18	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞(,)𝑥) = ℝ)
29	28	imaeq2d 6078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ℝ))
30	29	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
31	16, 30	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = +∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = +∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
33		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)-∞))
34		iooid 13415	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,)-∞) = ∅
35	33, 34	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞(,)𝑥) = ∅)
36	35	imaeq2d 6078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ∅))
37	36, 10	eqeltrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = -∞) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
39	26, 32, 38	3jaodan 1433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
40	2, 39	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
41	1, 25, 40	ismbfd 25674	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   “ cima 5688  ⟶wf 6557  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294  (,)cioo 13387  volcvol 25498  MblFncmbf 25649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654

This theorem is referenced by:  mbfres  25679  mbfmulc2lem  25682  mbfposr  25687  ismbf3d  25689  iblabsnclem  37690  ftc1anclem1  37700  ftc1anclem6  37705