Theorem mpocti 32646

Description: An operation is countable if both its domains are countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpocti.1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉

Assertion

Ref	Expression
mpocti	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpocti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpocti.1	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3	2	fnmpo 8051	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (𝐴 × 𝐵))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (𝐴 × 𝐵)
5		xpct 9976	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)
6		fnct 10497	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)
7	4, 5, 6	sylancr 587	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5110   × cxp 5639   Fn wfn 6509   ∈ cmpo 7392  ωcom 7845   ≼ cdom 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076

This theorem is referenced by:  dya2iocct  34278