Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpdm 10416
 Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpdm dom 𝐹 = (P × P)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 10405 . . . . . . . 8 ((𝑤P𝑦𝑤) → 𝑦Q)
2 elprnq 10405 . . . . . . . 8 ((𝑣P𝑧𝑣) → 𝑧Q)
3 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
53, 4syl5ibrcom 250 . . . . . . . 8 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
61, 2, 5syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝑤P𝑦𝑤) ∧ (𝑣P𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
76an4s 659 . . . . . 6 (((𝑤P𝑣P) ∧ (𝑦𝑤𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
87rexlimdvva 3253 . . . . 5 ((𝑤P𝑣P) → (∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
98abssdv 3996 . . . 4 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10 nqex 10337 . . . 4 Q ∈ V
11 ssexg 5192 . . . 4 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ QQ ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
129, 10, 11sylancl 589 . . 3 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
1312rgen2 3168 . 2 𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14 genp.1 . . 3 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
1514fnmpo 7752 . 2 (∀𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16 fndm 6426 . 2 (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
1713, 15, 16mp2b 10 1 dom 𝐹 = (P × P)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   × cxp 5518  dom cdm 5520   Fn wfn 6320  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138  Qcnq 10266  Pcnp 10273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-fv 6333  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-ni 10286  df-nq 10326  df-np 10395 This theorem is referenced by:  dmplp  10426  dmmp  10427
 Copyright terms: Public domain W3C validator