MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpdm 10896
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpdm dom 𝐹 = (P × P)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 10885 . . . . . . . 8 ((𝑤P𝑦𝑤) → 𝑦Q)
2 elprnq 10885 . . . . . . . 8 ((𝑣P𝑧𝑣) → 𝑧Q)
3 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
53, 4syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
61, 2, 5syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑤P𝑦𝑤) ∧ (𝑣P𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
76an4s 658 . . . . . 6 (((𝑤P𝑣P) ∧ (𝑦𝑤𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
87rexlimdvva 3203 . . . . 5 ((𝑤P𝑣P) → (∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
98abssdv 4023 . . . 4 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10 nqex 10817 . . . 4 Q ∈ V
11 ssexg 5278 . . . 4 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ QQ ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
129, 10, 11sylancl 586 . . 3 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
1312rgen2 3192 . 2 𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14 genp.1 . . 3 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
1514fnmpo 7993 . 2 (∀𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16 fndm 6602 . 2 (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
1713, 15, 16mp2b 10 1 dom 𝐹 = (P × P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  wss 3908   × cxp 5629  dom cdm 5631   Fn wfn 6488  (class class class)co 7351  cmpo 7353  Qcnq 10746  Pcnp 10753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-ni 10766  df-nq 10806  df-np 10875
This theorem is referenced by:  dmplp  10906  dmmp  10907
  Copyright terms: Public domain W3C validator