MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpdm 11040
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpdm dom 𝐹 = (P × P)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 11029 . . . . . . . 8 ((𝑤P𝑦𝑤) → 𝑦Q)
2 elprnq 11029 . . . . . . . 8 ((𝑣P𝑧𝑣) → 𝑧Q)
3 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
53, 4syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
61, 2, 5syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑤P𝑦𝑤) ∧ (𝑣P𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
76an4s 660 . . . . . 6 (((𝑤P𝑣P) ∧ (𝑦𝑤𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
87rexlimdvva 3211 . . . . 5 ((𝑤P𝑣P) → (∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
98abssdv 4078 . . . 4 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10 nqex 10961 . . . 4 Q ∈ V
11 ssexg 5329 . . . 4 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ QQ ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
129, 10, 11sylancl 586 . . 3 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
1312rgen2 3197 . 2 𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14 genp.1 . . 3 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
1514fnmpo 8093 . 2 (∀𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16 fndm 6672 . 2 (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
1713, 15, 16mp2b 10 1 dom 𝐹 = (P × P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   × cxp 5687  dom cdm 5689   Fn wfn 6558  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Qcnq 10890  Pcnp 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-ni 10910  df-nq 10950  df-np 11019
This theorem is referenced by:  dmplp  11050  dmmp  11051
  Copyright terms: Public domain W3C validator