Theorem genpdm 10896

Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpdm	⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Q)
2		elprnq 10885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) → 𝑧 ∈ Q)
3		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥 ∈ Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
5	3, 4	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
7	6	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
8	7	rexlimdvva 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
9	8	abssdv 4020	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10		nqex 10817	. . . 4 ⊢ Q ∈ V
11		ssexg 5262	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q ∧ Q ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
13	12	rgen2 3169	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
15	14	fnmpo 8004	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16		fndm 6585	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
17	13, 15, 16	mp2b 10	1 ⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   × cxp 5617  dom cdm 5619   Fn wfn 6477  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  Qcnq 10746  Pcnp 10753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-ni 10766  df-nq 10806  df-np 10875

This theorem is referenced by:  dmplp  10906  dmmp  10907