MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpdm 10945
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpdm dom 𝐹 = (P × P)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 10934 . . . . . . . 8 ((𝑤P𝑦𝑤) → 𝑦Q)
2 elprnq 10934 . . . . . . . 8 ((𝑣P𝑧𝑣) → 𝑧Q)
3 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
53, 4syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
61, 2, 5syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑤P𝑦𝑤) ∧ (𝑣P𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
76an4s 659 . . . . . 6 (((𝑤P𝑣P) ∧ (𝑦𝑤𝑧𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
87rexlimdvva 3206 . . . . 5 ((𝑤P𝑣P) → (∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥Q))
98abssdv 4030 . . . 4 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10 nqex 10866 . . . 4 Q ∈ V
11 ssexg 5285 . . . 4 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ QQ ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
129, 10, 11sylancl 587 . . 3 ((𝑤P𝑣P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
1312rgen2 3195 . 2 𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14 genp.1 . . 3 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
1514fnmpo 8006 . 2 (∀𝑤P𝑣P {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16 fndm 6610 . 2 (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
1713, 15, 16mp2b 10 1 dom 𝐹 = (P × P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2714  wral 3065  wrex 3074  Vcvv 3448  wss 3915   × cxp 5636  dom cdm 5638   Fn wfn 6496  (class class class)co 7362  cmpo 7364  Qcnq 10795  Pcnp 10802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-ni 10815  df-nq 10855  df-np 10924
This theorem is referenced by:  dmplp  10955  dmmp  10956
  Copyright terms: Public domain W3C validator