Theorem genpdm 11016

Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpdm	⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 11005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Q)
2		elprnq 11005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) → 𝑧 ∈ Q)
3		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥 ∈ Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
5	3, 4	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
7	6	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
8	7	rexlimdvva 3198	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
9	8	abssdv 4043	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10		nqex 10937	. . . 4 ⊢ Q ∈ V
11		ssexg 5293	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q ∧ Q ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
13	12	rgen2 3184	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
15	14	fnmpo 8068	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16		fndm 6641	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
17	13, 15, 16	mp2b 10	1 ⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   × cxp 5652  dom cdm 5654   Fn wfn 6526  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Qcnq 10866  Pcnp 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-ni 10886  df-nq 10926  df-np 10995

This theorem is referenced by:  dmplp  11026  dmmp  11027