Theorem genpdm 11002

Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpdm	⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣)

Proof of Theorem genpdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Q)
2		elprnq 10991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) → 𝑧 ∈ Q)
3		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥 ∈ Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
5	3, 4	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
6	1, 2, 5	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
7	6	an4s 673	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
8	7	rexlimdvva 3224	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
9	8	abssdv 4022	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10		nqex 10923	. . . 4 ⊢ Q ∈ V
11		ssexg 5292	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q ∧ Q ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
13	12	rgen2 3207	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
15	14	fnmpo 8072	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16		fndm 6642	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
17	13, 15, 16	mp2b 10	1 ⊢ dom 𝐹 = (P × P)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  dom cdm 5663   Fn wfn 6535  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  Qcnq 10852  Pcnp 10859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-ni 10872  df-nq 10912  df-np 10981

This theorem is used by:  dmplp  11012  dmmp  11013