Theorem genpdm 10911

Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpdm	⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Q)
2		elprnq 10900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) → 𝑧 ∈ Q)
3		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥 ∈ Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
5	3, 4	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
7	6	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
8	7	rexlimdvva 3191	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
9	8	abssdv 4017	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10		nqex 10832	. . . 4 ⊢ Q ∈ V
11		ssexg 5266	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q ∧ Q ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
13	12	rgen2 3174	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
15	14	fnmpo 8011	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16		fndm 6593	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
17	13, 15, 16	mp2b 10	1 ⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   × cxp 5620  dom cdm 5622   Fn wfn 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  Qcnq 10761  Pcnp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-ni 10781  df-nq 10821  df-np 10890

This theorem is referenced by:  dmplp  10921  dmmp  10922