Theorem genpdm 10888

Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpdm	⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Q)
2		elprnq 10877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) → 𝑧 ∈ Q)
3		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
4		eleq1 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → (𝑥 ∈ Q ↔ (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q))
5	3, 4	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
7	6	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) → (𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
8	7	rexlimdvva 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧) → 𝑥 ∈ Q))
9	8	abssdv 4014	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q)
10		nqex 10809	. . . 4 ⊢ Q ∈ V
11		ssexg 5256	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ⊆ Q ∧ Q ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V)
13	12	rgen2 3172	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V
14		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
15	14	fnmpo 7996	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ P ∀𝑣 ∈ P {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)} ∈ V → 𝐹 Fn (P × P))
16		fndm 6579	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (P × P) → dom 𝐹 = (P × P))
17	13, 15, 16	mp2b 10	1 ⊢ dom 𝐹 = (P × P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   × cxp 5609  dom cdm 5611   Fn wfn 6471  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  Qcnq 10738  Pcnp 10745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-ni 10758  df-nq 10798  df-np 10867

This theorem is referenced by:  dmplp  10898  dmmp  10899