Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | vex 3412 |
. . . . 5
⊢ 𝑥 ∈ V |
2 | | vex 3412 |
. . . . 5
⊢ 𝑦 ∈ V |
3 | 1, 2 | brcnv 5751 |
. . . 4
⊢ (𝑥◡(1st ↾ I )𝑦 ↔ 𝑦(1st ↾ I )𝑥) |
4 | 1 | brresi 5860 |
. . . 4
⊢ (𝑦(1st ↾ I )𝑥 ↔ (𝑦 ∈ I ∧ 𝑦1st 𝑥)) |
5 | | 19.42v 1962 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑧((1st ‘𝑦) = 𝑥 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) ↔ ((1st ‘𝑦) = 𝑥 ∧ ∃𝑧 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
6 | | vex 3412 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑧 ∈ V |
7 | 6, 6 | op1std 7771 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉 → (1st ‘𝑦) = 𝑧) |
8 | 7 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉 → ((1st ‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑧 = 𝑥)) |
9 | 8 | pm5.32ri 579 |
. . . . . . 7
⊢
(((1st ‘𝑦) = 𝑥 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) ↔ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
10 | 9 | exbii 1855 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑧((1st ‘𝑦) = 𝑥 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
11 | | fo1st 7781 |
. . . . . . . . 9
⊢
1st :V–onto→V |
12 | | fofn 6635 |
. . . . . . . . 9
⊢
(1st :V–onto→V → 1st Fn V) |
13 | 11, 12 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
1st Fn V |
14 | | fnbrfvb 6765 |
. . . . . . . 8
⊢
((1st Fn V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((1st
‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑦1st 𝑥)) |
15 | 13, 2, 14 | mp2an 692 |
. . . . . . 7
⊢
((1st ‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑦1st 𝑥) |
16 | | df-id 5455 |
. . . . . . . . 9
⊢ I =
{〈𝑧, 𝑡〉 ∣ 𝑧 = 𝑡} |
17 | 16 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ I ↔ 𝑦 ∈ {〈𝑧, 𝑡〉 ∣ 𝑧 = 𝑡}) |
18 | | elopab 5408 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ {〈𝑧, 𝑡〉 ∣ 𝑧 = 𝑡} ↔ ∃𝑧∃𝑡(𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉 ∧ 𝑧 = 𝑡)) |
19 | | ancom 464 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉 ∧ 𝑧 = 𝑡) ↔ (𝑧 = 𝑡 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉)) |
20 | | equcom 2026 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑡 ↔ 𝑡 = 𝑧) |
21 | 20 | anbi1i 627 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 = 𝑡 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉) ↔ (𝑡 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉)) |
22 | | opeq2 4785 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 = 𝑧 → 〈𝑧, 𝑡〉 = 〈𝑧, 𝑧〉) |
23 | 22 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑧 → (𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉 ↔ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
24 | 23 | pm5.32i 578 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑡 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉) ↔ (𝑡 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
25 | 19, 21, 24 | 3bitri 300 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉 ∧ 𝑧 = 𝑡) ↔ (𝑡 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
26 | 25 | exbii 1855 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑡(𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉 ∧ 𝑧 = 𝑡) ↔ ∃𝑡(𝑡 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
27 | | biidd 265 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑧 → (𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉 ↔ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
28 | 27 | equsexvw 2013 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑡(𝑡 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) ↔ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) |
29 | 26, 28 | bitri 278 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑡(𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉 ∧ 𝑧 = 𝑡) ↔ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) |
30 | 29 | exbii 1855 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑧∃𝑡(𝑦 = 〈𝑧, 𝑡〉 ∧ 𝑧 = 𝑡) ↔ ∃𝑧 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) |
31 | 17, 18, 30 | 3bitrri 301 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑧 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉 ↔ 𝑦 ∈ I ) |
32 | 15, 31 | anbi12ci 631 |
. . . . . 6
⊢
(((1st ‘𝑦) = 𝑥 ∧ ∃𝑧 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) ↔ (𝑦 ∈ I ∧ 𝑦1st 𝑥)) |
33 | 5, 10, 32 | 3bitr3ri 305 |
. . . . 5
⊢ ((𝑦 ∈ I ∧ 𝑦1st 𝑥) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉)) |
34 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝑧 = 𝑥) |
35 | 34, 34 | opeq12d 4792 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 𝑥 → 〈𝑧, 𝑧〉 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
36 | 35 | eqeq2d 2748 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉 ↔ 𝑦 = 〈𝑥, 𝑥〉)) |
37 | 36 | equsexvw 2013 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑧(𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 〈𝑧, 𝑧〉) ↔ 𝑦 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
38 | 33, 37 | bitri 278 |
. . . 4
⊢ ((𝑦 ∈ I ∧ 𝑦1st 𝑥) ↔ 𝑦 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
39 | 3, 4, 38 | 3bitri 300 |
. . 3
⊢ (𝑥◡(1st ↾ I )𝑦 ↔ 𝑦 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
40 | 39 | opabbii 5120 |
. 2
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝑥◡(1st ↾ I )𝑦} = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝑦 = 〈𝑥, 𝑥〉} |
41 | | relcnv 5972 |
. . 3
⊢ Rel ◡(1st ↾ I ) |
42 | | dfrel4v 6053 |
. . 3
⊢ (Rel
◡(1st ↾ I ) ↔
◡(1st ↾ I ) =
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝑥◡(1st ↾ I )𝑦}) |
43 | 41, 42 | mpbi 233 |
. 2
⊢ ◡(1st ↾ I ) = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝑥◡(1st ↾ I )𝑦} |
44 | | mptv 5160 |
. 2
⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 〈𝑥, 𝑥〉) = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝑦 = 〈𝑥, 𝑥〉} |
45 | 40, 43, 44 | 3eqtr4i 2775 |
1
⊢ ◡(1st ↾ I ) = (𝑥 ∈ V ↦ 〈𝑥, 𝑥〉) |