MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fpar 29448
Description: Formalized example provided in the comment for fpar 8053. (Contributed by AV, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ex-fpar.h 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
ex-fpar.a 𝐴 = (0[,)+∞)
ex-fpar.b 𝐡 = ℝ
ex-fpar.f 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
ex-fpar.g 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ex-fpar ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem ex-fpar
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7365 . 2 (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)
2 sqrtf 15255 . . . . . . . . 9 √:β„‚βŸΆβ„‚
3 ffn 6673 . . . . . . . . 9 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ Fn β„‚)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 √ Fn β„‚
5 rge0ssre 13380 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 ax-resscn 11115 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstri 3958 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
8 fnssres 6629 . . . . . . . . 9 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
9 ex-fpar.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (0[,)+∞)
109reseq2i 5939 . . . . . . . . . 10 (√ β†Ύ 𝐴) = (√ β†Ύ (0[,)+∞))
1110fneq1i 6604 . . . . . . . . 9 ((√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞) ↔ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
128, 11sylibr 233 . . . . . . . 8 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
134, 7, 12mp2an 691 . . . . . . 7 (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)
14 ex-fpar.f . . . . . . . 8 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴))
169a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐴 = (0[,)+∞))
1715, 16fneq12d 6602 . . . . . . . 8 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)))
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
1913, 18mpbir 230 . . . . . 6 𝐹 Fn 𝐴
20 sinf 16013 . . . . . . . . 9 sin:β„‚βŸΆβ„‚
21 ffn 6673 . . . . . . . . 9 (sin:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ sin Fn β„‚)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 sin Fn β„‚
23 fnssres 6629 . . . . . . . . 9 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
24 ex-fpar.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = ℝ
2524reseq2i 5939 . . . . . . . . . 10 (sin β†Ύ 𝐡) = (sin β†Ύ ℝ)
2625fneq1i 6604 . . . . . . . . 9 ((sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ ↔ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
2723, 26sylibr 233 . . . . . . . 8 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
2822, 6, 27mp2an 691 . . . . . . 7 (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ
29 ex-fpar.g . . . . . . . 8 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡))
3124a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐡 = ℝ)
3230, 31fneq12d 6602 . . . . . . . 8 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
3428, 33mpbir 230 . . . . . 6 𝐺 Fn 𝐡
35 ex-fpar.h . . . . . . 7 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
3635fpar 8053 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐡) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩))
3719, 34, 36mp2an 691 . . . . 5 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩)
38 opex 5426 . . . . 5 ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩ ∈ V
3937, 38fnmpoi 8007 . . . 4 𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡)
40 opelxpi 5675 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡))
41 fvco2 6943 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
4239, 40, 41sylancr 588 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
43 simpl 484 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
44 simpr 486 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4537, 43, 44fvproj 8071 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4645fveq2d 6851 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩))
47 df-ov 7365 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4814fveq1i 6848 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘‹) = ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹)
49 fvres 6866 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5048, 49eqtrid 2789 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5129fveq1i 6848 . . . . . 6 (πΊβ€˜π‘Œ) = ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ)
52 fvres 6866 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5351, 52eqtrid 2789 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5450, 53oveqan12d 7381 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5547, 54eqtr3id 2791 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5642, 46, 553eqtrd 2781 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
571, 56eqtrid 2789 1 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βŸ¨cop 4597   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  [,)cico 13273  βˆšcsqrt 15125  sincsin 15953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator