MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fpar Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ex-fpar 29704
Description: Formalized example provided in the comment for fpar 8098. (Contributed by AV, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ex-fpar.h 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
ex-fpar.a 𝐴 = (0[,)+∞)
ex-fpar.b 𝐡 = ℝ
ex-fpar.f 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
ex-fpar.g 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ex-fpar ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem ex-fpar
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7408 . 2 (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)
2 sqrtf 15306 . . . . . . . . 9 √:β„‚βŸΆβ„‚
3 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ Fn β„‚)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 √ Fn β„‚
5 rge0ssre 13429 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 ax-resscn 11163 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstri 3990 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
8 fnssres 6670 . . . . . . . . 9 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
9 ex-fpar.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (0[,)+∞)
109reseq2i 5976 . . . . . . . . . 10 (√ β†Ύ 𝐴) = (√ β†Ύ (0[,)+∞))
1110fneq1i 6643 . . . . . . . . 9 ((√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞) ↔ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
128, 11sylibr 233 . . . . . . . 8 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
134, 7, 12mp2an 690 . . . . . . 7 (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)
14 ex-fpar.f . . . . . . . 8 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴))
169a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐴 = (0[,)+∞))
1715, 16fneq12d 6641 . . . . . . . 8 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)))
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
1913, 18mpbir 230 . . . . . 6 𝐹 Fn 𝐴
20 sinf 16063 . . . . . . . . 9 sin:β„‚βŸΆβ„‚
21 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (sin:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ sin Fn β„‚)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 sin Fn β„‚
23 fnssres 6670 . . . . . . . . 9 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
24 ex-fpar.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = ℝ
2524reseq2i 5976 . . . . . . . . . 10 (sin β†Ύ 𝐡) = (sin β†Ύ ℝ)
2625fneq1i 6643 . . . . . . . . 9 ((sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ ↔ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
2723, 26sylibr 233 . . . . . . . 8 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
2822, 6, 27mp2an 690 . . . . . . 7 (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ
29 ex-fpar.g . . . . . . . 8 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡))
3124a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐡 = ℝ)
3230, 31fneq12d 6641 . . . . . . . 8 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
3428, 33mpbir 230 . . . . . 6 𝐺 Fn 𝐡
35 ex-fpar.h . . . . . . 7 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
3635fpar 8098 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐡) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩))
3719, 34, 36mp2an 690 . . . . 5 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩)
38 opex 5463 . . . . 5 ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩ ∈ V
3937, 38fnmpoi 8052 . . . 4 𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡)
40 opelxpi 5712 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡))
41 fvco2 6985 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
4239, 40, 41sylancr 587 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
43 simpl 483 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
44 simpr 485 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4537, 43, 44fvproj 8116 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4645fveq2d 6892 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩))
47 df-ov 7408 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4814fveq1i 6889 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘‹) = ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹)
49 fvres 6907 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5048, 49eqtrid 2784 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5129fveq1i 6889 . . . . . 6 (πΊβ€˜π‘Œ) = ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ)
52 fvres 6907 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5351, 52eqtrid 2784 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5450, 53oveqan12d 7424 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5547, 54eqtr3id 2786 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5642, 46, 553eqtrd 2776 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
571, 56eqtrid 2784 1 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  [,)cico 13322  βˆšcsqrt 15176  sincsin 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator