MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fpar Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ex-fpar 29715
Description: Formalized example provided in the comment for fpar 8102. (Contributed by AV, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ex-fpar.h 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
ex-fpar.a 𝐴 = (0[,)+∞)
ex-fpar.b 𝐡 = ℝ
ex-fpar.f 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
ex-fpar.g 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ex-fpar ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem ex-fpar
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7412 . 2 (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)
2 sqrtf 15310 . . . . . . . . 9 √:β„‚βŸΆβ„‚
3 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ Fn β„‚)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 √ Fn β„‚
5 rge0ssre 13433 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 ax-resscn 11167 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstri 3992 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
8 fnssres 6674 . . . . . . . . 9 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
9 ex-fpar.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (0[,)+∞)
109reseq2i 5979 . . . . . . . . . 10 (√ β†Ύ 𝐴) = (√ β†Ύ (0[,)+∞))
1110fneq1i 6647 . . . . . . . . 9 ((√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞) ↔ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
128, 11sylibr 233 . . . . . . . 8 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
134, 7, 12mp2an 691 . . . . . . 7 (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)
14 ex-fpar.f . . . . . . . 8 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴))
169a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐴 = (0[,)+∞))
1715, 16fneq12d 6645 . . . . . . . 8 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)))
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
1913, 18mpbir 230 . . . . . 6 𝐹 Fn 𝐴
20 sinf 16067 . . . . . . . . 9 sin:β„‚βŸΆβ„‚
21 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (sin:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ sin Fn β„‚)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 sin Fn β„‚
23 fnssres 6674 . . . . . . . . 9 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
24 ex-fpar.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = ℝ
2524reseq2i 5979 . . . . . . . . . 10 (sin β†Ύ 𝐡) = (sin β†Ύ ℝ)
2625fneq1i 6647 . . . . . . . . 9 ((sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ ↔ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
2723, 26sylibr 233 . . . . . . . 8 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
2822, 6, 27mp2an 691 . . . . . . 7 (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ
29 ex-fpar.g . . . . . . . 8 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡))
3124a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐡 = ℝ)
3230, 31fneq12d 6645 . . . . . . . 8 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
3428, 33mpbir 230 . . . . . 6 𝐺 Fn 𝐡
35 ex-fpar.h . . . . . . 7 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
3635fpar 8102 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐡) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩))
3719, 34, 36mp2an 691 . . . . 5 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩)
38 opex 5465 . . . . 5 ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩ ∈ V
3937, 38fnmpoi 8056 . . . 4 𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡)
40 opelxpi 5714 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡))
41 fvco2 6989 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
4239, 40, 41sylancr 588 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
43 simpl 484 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
44 simpr 486 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4537, 43, 44fvproj 8120 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4645fveq2d 6896 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩))
47 df-ov 7412 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4814fveq1i 6893 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘‹) = ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹)
49 fvres 6911 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5048, 49eqtrid 2785 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5129fveq1i 6893 . . . . . 6 (πΊβ€˜π‘Œ) = ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ)
52 fvres 6911 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5351, 52eqtrid 2785 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5450, 53oveqan12d 7428 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5547, 54eqtr3id 2787 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5642, 46, 553eqtrd 2777 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
571, 56eqtrid 2785 1 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  [,)cico 13326  βˆšcsqrt 15180  sincsin 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator