MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fpar Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ex-fpar 29753
Description: Formalized example provided in the comment for fpar 8104. (Contributed by AV, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ex-fpar.h 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
ex-fpar.a 𝐴 = (0[,)+∞)
ex-fpar.b 𝐡 = ℝ
ex-fpar.f 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
ex-fpar.g 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ex-fpar ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem ex-fpar
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7414 . 2 (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)
2 sqrtf 15312 . . . . . . . . 9 √:β„‚βŸΆβ„‚
3 ffn 6717 . . . . . . . . 9 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ Fn β„‚)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 √ Fn β„‚
5 rge0ssre 13435 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstri 3991 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
8 fnssres 6673 . . . . . . . . 9 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
9 ex-fpar.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (0[,)+∞)
109reseq2i 5978 . . . . . . . . . 10 (√ β†Ύ 𝐴) = (√ β†Ύ (0[,)+∞))
1110fneq1i 6646 . . . . . . . . 9 ((√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞) ↔ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) Fn (0[,)+∞))
128, 11sylibr 233 . . . . . . . 8 ((√ Fn β„‚ ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
134, 7, 12mp2an 690 . . . . . . 7 (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)
14 ex-fpar.f . . . . . . . 8 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴)
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴))
169a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ 𝐴 = (0[,)+∞))
1715, 16fneq12d 6644 . . . . . . . 8 (𝐹 = (√ β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞)))
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (√ β†Ύ 𝐴) Fn (0[,)+∞))
1913, 18mpbir 230 . . . . . 6 𝐹 Fn 𝐴
20 sinf 16069 . . . . . . . . 9 sin:β„‚βŸΆβ„‚
21 ffn 6717 . . . . . . . . 9 (sin:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ sin Fn β„‚)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 sin Fn β„‚
23 fnssres 6673 . . . . . . . . 9 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
24 ex-fpar.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = ℝ
2524reseq2i 5978 . . . . . . . . . 10 (sin β†Ύ 𝐡) = (sin β†Ύ ℝ)
2625fneq1i 6646 . . . . . . . . 9 ((sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ ↔ (sin β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
2723, 26sylibr 233 . . . . . . . 8 ((sin Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
2822, 6, 27mp2an 690 . . . . . . 7 (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ
29 ex-fpar.g . . . . . . . 8 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡)
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡))
3124a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ 𝐡 = ℝ)
3230, 31fneq12d 6644 . . . . . . . 8 (𝐺 = (sin β†Ύ 𝐡) β†’ (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 𝐡 ↔ (sin β†Ύ 𝐡) Fn ℝ)
3428, 33mpbir 230 . . . . . 6 𝐺 Fn 𝐡
35 ex-fpar.h . . . . . . 7 𝐻 = ((β—‘(1st β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐹 ∘ (1st β†Ύ (V Γ— V)))) ∩ (β—‘(2nd β†Ύ (V Γ— V)) ∘ (𝐺 ∘ (2nd β†Ύ (V Γ— V)))))
3635fpar 8104 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐡) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩))
3719, 34, 36mp2an 690 . . . . 5 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩)
38 opex 5464 . . . . 5 ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘¦)⟩ ∈ V
3937, 38fnmpoi 8058 . . . 4 𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡)
40 opelxpi 5713 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡))
41 fvco2 6988 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
4239, 40, 41sylancr 587 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)))
43 simpl 483 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
44 simpr 485 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4537, 43, 44fvproj 8122 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4645fveq2d 6895 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜(π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩))
47 df-ov 7414 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩)
4814fveq1i 6892 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘‹) = ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹)
49 fvres 6910 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((√ β†Ύ 𝐴)β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5048, 49eqtrid 2784 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜π‘‹))
5129fveq1i 6892 . . . . . 6 (πΊβ€˜π‘Œ) = ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ)
52 fvres 6910 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ ((sin β†Ύ 𝐡)β€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5351, 52eqtrid 2784 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (sinβ€˜π‘Œ))
5450, 53oveqan12d 7430 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΊβ€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5547, 54eqtr3id 2786 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( + β€˜βŸ¨(πΉβ€˜π‘‹), (πΊβ€˜π‘Œ)⟩) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
5642, 46, 553eqtrd 2776 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( + ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
571, 56eqtrid 2784 1 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( + ∘ 𝐻)π‘Œ) = ((βˆšβ€˜π‘‹) + (sinβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11247  [,)cico 13328  βˆšcsqrt 15182  sincsin 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator