Theorem frlmnzcoordval 43696

Description: Value of 𝐽, a function that returns the index of the first nonzero coordinate of 𝑉. (Contributed by SN, 23-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordval.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordval	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑉,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑏)   𝐵(𝑖)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem frlmnzcoordval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
2		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝑏‘𝑖) = (𝑉‘𝑖))
3	2	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)))
4	3	rabbidv 3419	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)})
5	4	infeq1d 9470	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
6		frlmnzcoordval.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
7		ltso 11390	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
8	7	infex 9487	. . 3 ⊢ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 7017	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  ℝcr 11199  0cc0 11200   < clt 11343  ...cfz 13639  0_gc0g 17610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348

This theorem is used by:  frlmnzcoordinf  43697  frlmnzcoordcl  43698  frlmnzcoordn0  43700  frlmnzcoordsca  43701