Theorem frlmnzcoordval 43919

Description: Value of 𝐽, a function that returns the index of the first nonzero coordinate of 𝑉. (Contributed by SN, 23-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordval.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordval	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑉,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑏)   𝐵(𝑖)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem frlmnzcoordval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
2		fveq1 6915	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝑏‘𝑖) = (𝑉‘𝑖))
3	2	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)))
4	3	rabbidv 3423	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)})
5	4	infeq1d 9507	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
6		frlmnzcoordval.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
7		ltso 11429	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
8	7	infex 9524	. . 3 ⊢ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 7048	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  infcinf 9470  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382  ...cfz 13679  0_gc0g 17660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  frlmnzcoordinf  43920  frlmnzcoordcl  43921  frlmnzcoordn0  43923  frlmnzcoordsca  43924