Theorem frlmnzcoordval 43633

Description: Value of 𝐽, a function that returns the index of the first nonzero coordinate of 𝑉. (Contributed by SN, 23-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordval.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordval	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑉,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑏)   𝐵(𝑖)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem frlmnzcoordval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
2		fveq1 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝑏‘𝑖) = (𝑉‘𝑖))
3	2	neeq1d 3015	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)))
4	3	rabbidv 3420	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)})
5	4	infeq1d 9463	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
6		frlmnzcoordval.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
7		ltso 11383	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
8	7	infex 9480	. . 3 ⊢ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 7015	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336  ...cfz 13632  0_gc0g 17603

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  frlmnzcoordinf  43634  frlmnzcoordcl  43635  frlmnzcoordn0  43637  frlmnzcoordsca  43638