Theorem frlmnzcoordinf 43634

Description: The result (𝐽‘𝑉) is the smallest index corresponding to a nonzero coordinate. (Contributed by SN, 23-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordval.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordinf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}) → (𝐽‘𝑉) ≤ 𝐼)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑉,𝑏,𝑖   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑏)   𝐵(𝑖)   𝐼(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem frlmnzcoordinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
2		frlmnzcoordval.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
3	1, 2	frlmnzcoordval 43633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}) → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
5		ssrab2 4028	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ⊆ (0...𝑁)
6		fzssre 13652	. . . . 5 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3940	. . . 4 ⊢ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ⊆ ℝ
8		fzfi 14108	. . . . 5 ⊢ (0...𝑁) ∈ Fin
9		ssfi 9181	. . . . 5 ⊢ (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ⊆ (0...𝑁)) → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ∈ Fin)
10	8, 5, 9	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ∈ Fin
11		infrefilb 12296	. . . 4 ⊢ (({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ⊆ ℝ ∧ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}) → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ≤ 𝐼)
12	7, 10, 11	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ≤ 𝐼)
13	12	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}) → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) ≤ 𝐼)
14	4, 13	eqbrtrd 5127	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}) → (𝐽‘𝑉) ≤ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336   ≤ cle 11337  ...cfz 13632  0_gc0g 17603

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633

This theorem is used by: (None)