Theorem frlmnzcoordex 43918

Description: Every nonzero vector of a free module has a nonzero coordinate. (Contributed by SN, 23-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordex.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
frlmnzcoordex.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
frlmnzcoordex.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
frlmnzcoordex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmnzcoordex.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordex	⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmnzcoordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordex.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
2		frlmnzcoordex.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
3	1, 2	eleqtrdi 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
4	3	eldifsnbd 4751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))
5	4	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑉 = (0g‘𝑊))
6		frlmnzcoordex.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		ovexd 7486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
9	3	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
10	6, 7, 8, 9	frlmbasfn 43831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn (0...𝑁))
11		fconstfv 7249	. . . . . 6 ⊢ (𝑉:(0...𝑁)⟶{(0g‘𝐾)} ↔ (𝑉 Fn (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
12		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐾) ∈ V
13	12	fconst2 7242	. . . . . 6 ⊢ (𝑉:(0...𝑁)⟶{(0g‘𝐾)} ↔ 𝑉 = ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}))
14	11, 13	sylbb1 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 Fn (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → 𝑉 = ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}))
15	10, 14	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → 𝑉 = ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}))
16		frlmnzcoordex.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
18	6, 17	frlm0 22115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (0...𝑁) ∈ V) → ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}) = (0g‘𝑊))
19	16, 8, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}) = (0g‘𝑊))
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}) = (0g‘𝑊))
21	15, 20	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → 𝑉 = (0g‘𝑊))
22	5, 21	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
23		rabeq0 4341	. . . 4 ⊢ ({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁) ¬ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾))
24		nne 2963	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
25	24	ralbii 3112	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0...𝑁) ¬ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
26	23, 25	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
27	26	necon3abii 3005	. 2 ⊢ ({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
28	22, 27	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588   × cxp 5656   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  Ringcrg 20510   freeLMod cfrlm 22107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108

This theorem is used by:  frlmnzcoordcl  43921  frlmnzcoordn0  43923