Theorem frlmnzcoordex 43759

Description: Every nonzero vector of a free module has a nonzero coordinate. (Contributed by SN, 23-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordex.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
frlmnzcoordex.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
frlmnzcoordex.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
frlmnzcoordex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmnzcoordex.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordex	⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmnzcoordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordex.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
2		frlmnzcoordex.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
3	1, 2	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
4	3	eldifsnbd 4745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))
5	4	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑉 = (0g‘𝑊))
6		frlmnzcoordex.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		ovexd 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
9	3	eldifad 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
10	6, 7, 8, 9	frlmbasfn 43672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn (0...𝑁))
11		fconstfv 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝑉:(0...𝑁)⟶{(0g‘𝐾)} ↔ (𝑉 Fn (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
12		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐾) ∈ V
13	12	fconst2 7213	. . . . . 6 ⊢ (𝑉:(0...𝑁)⟶{(0g‘𝐾)} ↔ 𝑉 = ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}))
14	11, 13	sylbb1 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 Fn (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → 𝑉 = ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}))
15	10, 14	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → 𝑉 = ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}))
16		frlmnzcoordex.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
18	6, 17	frlm0 22067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (0...𝑁) ∈ V) → ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}) = (0g‘𝑊))
19	16, 8, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}) = (0g‘𝑊))
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → ((0...𝑁) × {(0g‘𝐾)}) = (0g‘𝑊))
21	15, 20	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)) → 𝑉 = (0g‘𝑊))
22	5, 21	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
23		rabeq0 4337	. . . 4 ⊢ ({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁) ¬ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾))
24		nne 2959	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
25	24	ralbii 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0...𝑁) ¬ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
26	23, 25	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
27	26	necon3abii 3001	. 2 ⊢ ({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))
28	22, 27	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  {csn 4584   × cxp 5648   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  0cc0 11205  ℕ₀cn0 12611  ...cfz 13644  Basecbs 17394  0_gc0g 17617  Ringcrg 20466   freeLMod cfrlm 22059

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-sup 9439  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-hom 17459  df-cco 17460  df-0g 17619  df-prds 17625  df-pws 17627  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-subg 19340  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-subrg 20829  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-sra 21455  df-rgmod 21456  df-dsmm 22045  df-frlm 22060

This theorem is used by:  frlmnzcoordcl  43762  frlmnzcoordn0  43764