Theorem frlmnzcoordsca 43701

Description: In a free module, scaling a vector does not change the index of its first nonzero coordinate. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordsca.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
frlmnzcoordsca.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
frlmnzcoordsca.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
frlmnzcoordsca.z	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
frlmnzcoordsca.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
frlmnzcoordsca.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
frlmnzcoordsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmnzcoordsca.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
frlmnzcoordsca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
frlmnzcoordsca.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordsca	⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = (𝐽‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐶,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   𝑁,𝑏,𝑖   𝑉,𝑏,𝑖   · ,𝑏,𝑖   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐵(𝑖)   𝑆(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝑊(𝑖, 𝑏)   0 (𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem frlmnzcoordsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordsca.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
2		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		frlmnzcoordsca.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4		ovexd 7455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (0...𝑁) ∈ V)
5		frlmnzcoordsca.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
7		frlmnzcoordsca.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
8		frlmnzcoordsca.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
9	7, 8	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
10	9	eldifad 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
13		frlmnzcoordsca.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
15	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13, 14	frlmvscaval 22074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)))
16	15	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾)))
17		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
18		frlmnzcoordsca.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ DivRing)
20		ovexd 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
21	1, 3, 2	frlmbasf 22066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
22	20, 10, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
23	22	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑉‘𝑖) ∈ 𝑆)
24	3, 17, 14, 19, 6, 23	drngmul0or 21018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
25		frlmnzcoordsca.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
26		frlmnzcoordsca.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
27	1	frlmsca 22059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
28	18, 20, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
29	28	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
30	26, 29	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	25, 30	neeqtrd 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
32	31, 29	neeqtrrd 3029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐾))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝐾))
34	33	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐶 = (0g‘𝐾))
35		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = (0g‘𝐾) → ((𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
37	24, 36	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
38	16, 37	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
39	38	necon3bid 2999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)))
40	39	rabbidva 3418	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)})
41	40	infeq1d 9470	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
42		frlmnzcoordsca.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
43	18	drngringd 20988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
44	1, 2, 3, 13, 43, 5, 10	frlmvscl 43609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ (Base‘𝑊))
45	9	eldifsnbd 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))
46		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
50	1	frlmlvec 22067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
51	18, 20, 50	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
52	28	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	3, 52	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54	5, 53	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
55	2, 13, 46, 47, 48, 49, 51, 54, 10	lvecvsn0 21387	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑉) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝐶 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))))
56	31, 45, 55	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ≠ (0g‘𝑊))
57	44, 56	eldifsnd 4749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
58	57, 8	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ 𝐵)
59	42, 58	frlmnzcoordval 43696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
60	42, 7	frlmnzcoordval 43696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
61	41, 59, 60	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = (𝐽‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  ℝcr 11199  0cc0 11200   < clt 11343  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  DivRingcdr 20980  LVecclvec 21377   freeLMod cfrlm 22052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-nzr 20763  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053

This theorem is used by:  prjspnnorm  43704