Theorem frlmnzcoordsca 43924

Description: In a free module, scaling a vector does not change the index of its first nonzero coordinate. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordsca.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
frlmnzcoordsca.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
frlmnzcoordsca.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
frlmnzcoordsca.z	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
frlmnzcoordsca.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
frlmnzcoordsca.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
frlmnzcoordsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmnzcoordsca.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
frlmnzcoordsca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
frlmnzcoordsca.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordsca	⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = (𝐽‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐶,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   𝑁,𝑏,𝑖   𝑉,𝑏,𝑖   · ,𝑏,𝑖   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐵(𝑖)   𝑆(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝑊(𝑖, 𝑏)   0 (𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem frlmnzcoordsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordsca.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		frlmnzcoordsca.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4		ovexd 7486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (0...𝑁) ∈ V)
5		frlmnzcoordsca.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
7		frlmnzcoordsca.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
8		frlmnzcoordsca.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
9	7, 8	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
10	9	eldifad 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
13		frlmnzcoordsca.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
15	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13, 14	frlmvscaval 22129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)))
16	15	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾)))
17		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
18		frlmnzcoordsca.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ DivRing)
20		ovexd 7486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
21	1, 3, 2	frlmbasf 22121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
22	20, 10, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
23	22	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑉‘𝑖) ∈ 𝑆)
24	3, 17, 14, 19, 6, 23	drngmul0or 21069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
25		frlmnzcoordsca.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
26		frlmnzcoordsca.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
27	1	frlmsca 22114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
28	18, 20, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
29	28	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
30	26, 29	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	25, 30	neeqtrd 3028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
32	31, 29	neeqtrrd 3033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐾))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝐾))
34	33	neneqd 2964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐶 = (0g‘𝐾))
35		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = (0g‘𝐾) → ((𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
37	24, 36	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
38	16, 37	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
39	38	necon3bid 3003	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)))
40	39	rabbidva 3422	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)})
41	40	infeq1d 9507	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
42		frlmnzcoordsca.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
43	18	drngringd 21039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
44	1, 2, 3, 13, 43, 5, 10	frlmvscl 43832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ (Base‘𝑊))
45	9	eldifsnbd 4751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))
46		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
50	1	frlmlvec 22122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
51	18, 20, 50	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
52	28	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	3, 52	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54	5, 53	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
55	2, 13, 46, 47, 48, 49, 51, 54, 10	lvecvsn0 21438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑉) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝐶 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))))
56	31, 45, 55	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ≠ (0g‘𝑊))
57	44, 56	eldifsnd 4752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
58	57, 8	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ 𝐵)
59	42, 58	frlmnzcoordval 43919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
60	42, 7	frlmnzcoordval 43919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
61	41, 59, 60	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = (𝐽‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  infcinf 9470  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  DivRingcdr 21031  LVecclvec 21428   freeLMod cfrlm 22107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-nzr 20814  df-subrg 20873  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108

This theorem is used by:  prjspnnorm  43927