Theorem frlmnzcoordsca 43638

Description: In a free module, scaling a vector does not change the index of its first nonzero coordinate. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordsca.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
frlmnzcoordsca.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
frlmnzcoordsca.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
frlmnzcoordsca.z	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
frlmnzcoordsca.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
frlmnzcoordsca.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
frlmnzcoordsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmnzcoordsca.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
frlmnzcoordsca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
frlmnzcoordsca.0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordsca	⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = (𝐽‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐶,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   𝑁,𝑏,𝑖   𝑉,𝑏,𝑖   · ,𝑏,𝑖   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐵(𝑖)   𝑆(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝑊(𝑖, 𝑏)   0 (𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem frlmnzcoordsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmnzcoordsca.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
2		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		frlmnzcoordsca.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4		ovexd 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (0...𝑁) ∈ V)
5		frlmnzcoordsca.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
7		frlmnzcoordsca.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
8		frlmnzcoordsca.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
9	7, 8	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
10	9	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
13		frlmnzcoordsca.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
15	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13, 14	frlmvscaval 22067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)))
16	15	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾)))
17		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
18		frlmnzcoordsca.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ DivRing)
20		ovexd 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
21	1, 3, 2	frlmbasf 22059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
22	20, 10, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
23	22	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑉‘𝑖) ∈ 𝑆)
24	3, 17, 14, 19, 6, 23	drngmul0or 21011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
25		frlmnzcoordsca.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
26		frlmnzcoordsca.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
27	1	frlmsca 22052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
28	18, 20, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
29	28	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
30	26, 29	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	25, 30	neeqtrd 3025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
32	31, 29	neeqtrrd 3030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐾))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝐾))
34	33	neneqd 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐶 = (0g‘𝐾))
35		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = (0g‘𝐾) → ((𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝐶 = (0g‘𝐾) ∨ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾))))
37	24, 36	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶(.r‘𝐾)(𝑉‘𝑖)) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
38	16, 37	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) = (0g‘𝐾)))
39	38	necon3bid 3000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)))
40	39	rabbidva 3419	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)} = {𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)})
41	40	infeq1d 9463	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
42		frlmnzcoordsca.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
43	18	drngringd 20981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
44	1, 2, 3, 13, 43, 5, 10	frlmvscl 43546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ (Base‘𝑊))
45	9	eldifsnbd 4749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))
46		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
47		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
48		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
49		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
50	1	frlmlvec 22060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
51	18, 20, 50	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
52	28	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
53	3, 52	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54	5, 53	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
55	2, 13, 46, 47, 48, 49, 51, 54, 10	lvecvsn0 21380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑉) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝐶 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑉 ≠ (0g‘𝑊))))
56	31, 45, 55	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ≠ (0g‘𝑊))
57	44, 56	eldifsnd 4750	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
58	57, 8	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑉) ∈ 𝐵)
59	42, 58	frlmnzcoordval 43633	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ ((𝐶 · 𝑉)‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
60	42, 7	frlmnzcoordval 43633	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) = inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑉‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
61	41, 59, 60	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(𝐶 · 𝑉)) = (𝐽‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  DivRingcdr 20973  LVecclvec 21370   freeLMod cfrlm 22045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-nzr 20756  df-subrg 20815  df-rlreg 20939  df-domn 20940  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lvec 21371  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046

This theorem is used by:  prjspnnorm  43641