Theorem genpprecl 11070

Description: Pre-closure law for general operation on positive reals. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpprecl	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpprecl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐶𝐺𝐷) = (𝐶𝐺𝐷)
2		rspceov 7497	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶𝐺𝐷) = (𝐶𝐺𝐷)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 (𝐶𝐺𝐷) = (𝑔𝐺ℎ))
3	1, 2	mp3an3 1450	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 (𝐶𝐺𝐷) = (𝑔𝐺ℎ))
4		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
5		genp.2	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
6	4, 5	genpelv 11069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐶𝐺𝐷) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 (𝐶𝐺𝐷) = (𝑔𝐺ℎ)))
7	3, 6	imbitrrid 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  Qcnq 10921  Pcnp 10928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-ni 10941  df-nq 10981  df-np 11050

This theorem is referenced by:  genpn0  11072  genpnmax  11076  addclprlem2  11086  mulclprlem  11088  distrlem1pr  11094  distrlem4pr  11095  ltaddpr  11103  ltexprlem7  11111