Theorem genpprecl 10960

Description: Pre-closure law for general operation on positive reals. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpprecl	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpprecl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐶𝐺𝐷) = (𝐶𝐺𝐷)
2		rspceov 7446	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶𝐺𝐷) = (𝐶𝐺𝐷)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 (𝐶𝐺𝐷) = (𝑔𝐺ℎ))
3	1, 2	mp3an3 1472	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 (𝐶𝐺𝐷) = (𝑔𝐺ℎ))
4		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
5		genp.2	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
6	4, 5	genpelv 10959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐶𝐺𝐷) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 (𝐶𝐺𝐷) = (𝑔𝐺ℎ)))
7	3, 6	imbitrrid 248	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶𝐺𝐷) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3087  (class class class)co 7397   ∈ cmpo 7399  Qcnq 10811  Pcnp 10818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-ni 10831  df-nq 10871  df-np 10940

This theorem is referenced by:  genpn0  10962  genpnmax  10966  addclprlem2  10976  mulclprlem  10978  distrlem1pr  10984  distrlem4pr  10985  ltaddpr  10993  ltexprlem7  11001