Theorem idghm 18764

Description: The identity homomorphism on a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
idghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idghm	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem idghm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
2		idghm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	grpcl 18500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
5	4	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
6		fvresi 7027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
8		fvresi 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
9		fvresi 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
10	8, 9	oveqan12d 7274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
12	7, 11	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
13	12	ralrimivva 3114	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
14		f1oi 6737	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
15		f1of 6700	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵
17	13, 16	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏))))
18	2, 2, 3, 3	isghm 18749	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))))
19	1, 1, 17, 18	syl21anbrc 1342	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   I cid 5479   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Grpcgrp 18492   GrpHom cghm 18746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-ghm 18747

This theorem is referenced by:  gicref  18802  symgga  18930  0frgp  19300  idrhm  19890  idlmhm  20218  frgpcyg  20693  nmoid  23812  idnghm  23813  idrnghm  45354