Theorem idghm 19445

Description: The identity homomorphism on a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
idghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idghm	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem idghm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
2		idghm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	grpcl 19152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
5	4	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
6		fvresi 7178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
8		fvresi 7178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
9		fvresi 7178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
10	8, 9	oveqan12d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
12	7, 11	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
13	12	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
14		f1oi 6863	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
15		f1of 6824	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵
17	13, 16	jctil 529	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏))))
18	2, 2, 3, 3	isghm 19430	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝐺)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))))
19	1, 1, 17, 18	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   I cid 5545   ↾ cres 5653  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Grpcgrp 19144   GrpHom cghm 19427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-ghm 19428

This theorem is used by:  gicref  19486  symgga  19621  0frgp  19993  idrnghm  20688  idrhm  20725  idlmhm  21316  frgpcyg  21879  nmoid  25061  idnghm  25062