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Theorem nrmmetd 24083

Description: Show that a group norm generates a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
nrmmetd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nrmmetd.m	⊢ − = (-_g‘𝐺)
nrmmetd.z	⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
nrmmetd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nrmmetd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
nrmmetd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
nrmmetd.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

**Assertion**
Ref	Expression
nrmmetd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦, − 𝑥, 0 ,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦 𝑥,𝑋,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrmmetd Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmmetd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		nrmmetd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		nrmmetd.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		nrmmetd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-_g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 18902	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		fco 6742	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8	1, 6, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
9		opelxpi 5714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
10		fvco3 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
11	6, 9, 10	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
12		df-ov 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
13		df-ov 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
14	13	fveq2i 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
15	11, 12, 14	3eqtr4g 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
16	15	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
17		nrmmetd.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
18	17	ralrimiva 3147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
19	3, 4	grpsubcl 18903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
20	19	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
21	2, 20	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
22		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
23	22	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
24		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
25	23, 24	bibi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 )))
26	25	rspccva 3612	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
27	18, 21, 26	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
28		nrmmetd.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
29	3, 28, 4	grpsubeq0 18909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
30	29	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
31	2, 30	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
32	16, 27, 31	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
33	1	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
34	21	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
35	33, 34	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ∈ ℝ)
36	2	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
37		simprll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
38		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
39	3, 4	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
41	33, 40	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ∈ ℝ)
42		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
43	3, 4	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
44	36, 42, 38, 43	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
45	33, 44	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ∈ ℝ)
46	41, 45	readdcld 11243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ∈ ℝ)
47	3, 4	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
48	36, 38, 37, 47	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
49	33, 48	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ∈ ℝ)
50	3, 4	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
51	36, 38, 42, 50	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
52	33, 51	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) ∈ ℝ)
53	49, 52	readdcld 11243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))) ∈ ℝ)
54	3, 4	grpnnncan2 18920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
55	36, 37, 42, 38, 54	syl13anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
56	55	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
57		nrmmetd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
58	57	ralrimivva 3201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	58	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
60		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)))
61		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
62	61	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)))
63	60, 62	breq12d 5162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦))))
64		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝑎 − 𝑐) − 𝑦) = ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)))
65	64	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))))
66		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
67	66	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
68	65, 67	breq12d 5162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))))
69	63, 68	rspc2va 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
70	40, 44, 59, 69	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
71	56, 70	eqbrtrrd 5173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
72		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ 𝑋 ↔ 𝑐 ∈ 𝑋))
73	72	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
74	73	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
75		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑐))
76	75	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
77		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
78	76, 77	breq12d 5162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))))
79	74, 78	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))))
80	2	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
81	3, 28	grpidcl 18850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ 𝑋)
83		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
84		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
85	3, 4	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
86	80, 83, 84, 85	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
87	58	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
88		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − 𝑦)))
89		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘ 0 ))
90	89	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)))
91	88, 90	breq12d 5162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦))))
92		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ( 0 − 𝑦) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
93	92	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘( 0 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))))
94		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
95	94	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
96	93, 95	breq12d 5162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))))
97	91, 96	rspc2va 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( 0 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
98	82, 86, 87, 97	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
99		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inv_g‘𝐺) = (inv_g‘𝐺)
100	3, 4, 99, 28	grpinvval2 18906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
101	2, 86, 100	syl2an2r 684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
102	3, 4, 99	grpinvsub 18905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
103	80, 83, 84, 102	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
104	101, 103	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ( 0 − (𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
105	104	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
106	2, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
107		pm5.501 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)))
108		bicom 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
109	107, 108	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 )))
110	89	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
111	109, 110	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
112	111	rspccva 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ 0 ∈ 𝑋) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
113	18, 106, 112	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
114	113	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
115	114	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
116	1	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
117	116, 86	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℝ)
118	117	recnd 11242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
119	118	addlidd 11415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
120	115, 119	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
121	98, 105, 120	3brtr3d 5180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
122	79, 121	chvarvv 2003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
123	122	adantrlr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
124		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↔ 𝑏 ∈ 𝑋))
125	124	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
126	125	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
127		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
128		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 − 𝑎) = (𝑐 − 𝑏))
129	128	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
130	127, 129	breq12d 5162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
131	126, 130	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))))
132	131, 122	chvarvv 2003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
133	132	adantrll 721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
134	41, 45, 49, 52, 123, 133	le2addd 11833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
135	35, 46, 53, 71, 134	letrd 11371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
136	15	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
137		opelxpi 5714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
138	38, 37, 137	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
139		fvco3 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
140	6, 138, 139	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
141		df-ov 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
142		df-ov 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑎) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
143	142	fveq2i 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩))
144	140, 141, 143	3eqtr4g 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
145		opelxpi 5714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
146	38, 42, 145	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
147		fvco3 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
148	6, 146, 147	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
149		df-ov 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
150		df-ov 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
151	150	fveq2i 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩))
152	148, 149, 151	3eqtr4g 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
153	144, 152	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)) = ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
154	135, 136, 153	3brtr4d 5181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
155	154	expr 458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ 𝑋 → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
156	155	ralrimiv 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
157	32, 156	jca 513	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
158	157	ralrimivva 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
159	3	fvexi 6906	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
160		ismet 23829	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))))
161	159, 160	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))))
162	8, 158, 161	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ∀wral 3062 Vcvv 3475 ⟨cop 4635 class class class wbr 5149 × cxp 5675 ∘ ccom 5681 ⟶wf 6540 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℝcr 11109 0cc0 11110 + caddc 11113 ≤ cle 11249 Basecbs 17144 0_gc0g 17385 Grpcgrp 18819 inv_gcminusg 18820 -_gcsg 18821 Metcmet 20930

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-er 8703 df-map 8822 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-0g 17387 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-grp 18822 df-minusg 18823 df-sbg 18824 df-met 20938

This theorem is referenced by: abvmet 24084 tngngpd 24170

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