MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmmetd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmmetd 23953
Description: Show that a group norm generates a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrmmetd.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
nrmmetd.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
nrmmetd.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
nrmmetd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
nrmmetd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
nrmmetd.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
nrmmetd.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
nrmmetd (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯, 0 ,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nrmmetd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmmetd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2 nrmmetd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3 nrmmetd.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 nrmmetd.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
53, 4grpsubf 18834 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
62, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
7 fco 6696 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
81, 6, 7syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
9 opelxpi 5674 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
10 fvco3 6944 . . . . . . . 8 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
116, 9, 10syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
12 df-ov 7364 . . . . . . 7 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
13 df-ov 7364 . . . . . . . 8 (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
1413fveq2i 6849 . . . . . . 7 (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
1511, 12, 143eqtr4g 2798 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
1615eqeq1d 2735 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0))
17 nrmmetd.1 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
1817ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
193, 4grpsubcl 18835 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
20193expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
212, 20sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
22 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
2322eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0))
24 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ))
2523, 24bibi12d 346 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ↔ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 )))
2625rspccva 3582 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ))
2718, 21, 26syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ))
28 nrmmetd.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
293, 28, 4grpsubeq0 18841 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
30293expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
312, 30sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
3216, 27, 313bitrd 305 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
331adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3421adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
3533, 34ffvelcdmd 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ)
362adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
37 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
38 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑋)
393, 4grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4133, 40ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ)
42 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
433, 4grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4436, 42, 38, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4533, 44ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ)
4641, 45readdcld 11192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))) ∈ ℝ)
473, 4grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑐 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
4836, 38, 37, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
4933, 48ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) ∈ ℝ)
503, 4grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
5136, 38, 42, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
5233, 51ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ)
5349, 52readdcld 11192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) ∈ ℝ)
543, 4grpnnncan2 18852 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
5536, 37, 42, 38, 54syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
5655fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
57 nrmmetd.2 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
5857ralrimivva 3194 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
5958adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
60 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)))
61 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)))
6261oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦)))
6360, 62breq12d 5122 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦))))
64 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦) = ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐)))
6564fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))))
66 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)))
6766oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
6865, 67breq12d 5122 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)))))
6963, 68rspc2va 3593 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Ž βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
7040, 44, 59, 69syl21anc 837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
7156, 70eqbrtrrd 5133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
72 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 β†’ (𝑏 ∈ 𝑋 ↔ 𝑐 ∈ 𝑋))
7372anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
7473anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
75 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = (π‘Ž βˆ’ 𝑐))
7675fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)))
77 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
7876, 77breq12d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž))))
7974, 78imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))))
802adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
813, 28grpidcl 18786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝑋)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ∈ 𝑋)
83 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
84 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
853, 4grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
8680, 83, 84, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
8758adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
88 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 0 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)))
89 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜ 0 ))
9089oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦)))
9188, 90breq12d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦))))
92 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ ( 0 βˆ’ 𝑦) = ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
9392fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
94 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
9594oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
9693, 95breq12d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))))
9791, 96rspc2va 3593 . . . . . . . . . . . . 13 ((( 0 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
9882, 86, 87, 97syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
99 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
1003, 4, 99, 28grpinvval2 18838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
1012, 86, 100syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
1023, 4, 99grpinvsub 18837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
10380, 83, 84, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
104101, 103eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
105104fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
1062, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑋)
107 pm5.501 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘₯ = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)))
108 bicom 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
109107, 108bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 )))
11089eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜ 0 ) = 0))
111109, 110bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 0 β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ↔ (πΉβ€˜ 0 ) = 0))
112111rspccva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
11318, 106, 112syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
114113adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
115114oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (0 + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
1161adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
117116, 86ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) ∈ ℝ)
118117recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„‚)
119118addid2d 11364 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (0 + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
120115, 119eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
12198, 105, 1203brtr3d 5140 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
12279, 121chvarvv 2003 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
123122adantrlr 722 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
124 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑋 ↔ 𝑏 ∈ 𝑋))
125124anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
126125anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
127 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)))
128 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑐 βˆ’ π‘Ž) = (𝑐 βˆ’ 𝑏))
129128fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
130127, 129breq12d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
131126, 130imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))))
132131, 122chvarvv 2003 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
133132adantrll 721 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
13441, 45, 49, 52, 123, 133le2addd 11782 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
13535, 46, 53, 71, 134letrd 11320 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
13615adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
137 opelxpi 5674 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
13838, 37, 137syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
139 fvco3 6944 . . . . . . . . . 10 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)))
1406, 138, 139syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)))
141 df-ov 7364 . . . . . . . . 9 (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) = ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
142 df-ov 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑐 βˆ’ π‘Ž) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
143142fveq2i 6849 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©))
144140, 141, 1433eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
145 opelxpi 5674 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
14638, 42, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
147 fvco3 6944 . . . . . . . . . 10 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)))
1486, 146, 147syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)))
149 df-ov 7364 . . . . . . . . 9 (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
150 df-ov 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑐 βˆ’ 𝑏) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
151150fveq2i 6849 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©))
152148, 149, 1513eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
153144, 152oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)) = ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
154135, 136, 1533brtr4d 5141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)))
155154expr 458 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐 ∈ 𝑋 β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))
156155ralrimiv 3139 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)))
15732, 156jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))
158157ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))
1593fvexi 6860 . . 3 𝑋 ∈ V
160 ismet 23699 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))))
161159, 160ax-mp 5 . 2 ((𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)))))
1628, 158, 161sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   ≀ cle 11198  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  Metcmet 20805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-met 20813
This theorem is referenced by:  abvmet  23954  tngngpd  24040
  Copyright terms: Public domain W3C validator