MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmmetd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmmetd 24303
Description: Show that a group norm generates a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrmmetd.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
nrmmetd.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
nrmmetd.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
nrmmetd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
nrmmetd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
nrmmetd.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
nrmmetd.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
nrmmetd (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯, 0 ,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nrmmetd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmmetd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2 nrmmetd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3 nrmmetd.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 nrmmetd.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
53, 4grpsubf 18938 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
62, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
7 fco 6740 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
81, 6, 7syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
9 opelxpi 5712 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
10 fvco3 6989 . . . . . . . 8 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
116, 9, 10syl2an 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
12 df-ov 7414 . . . . . . 7 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
13 df-ov 7414 . . . . . . . 8 (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
1413fveq2i 6893 . . . . . . 7 (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
1511, 12, 143eqtr4g 2795 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
1615eqeq1d 2732 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0))
17 nrmmetd.1 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
1817ralrimiva 3144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
193, 4grpsubcl 18939 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
20193expb 1118 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
212, 20sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
22 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
2322eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0))
24 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ))
2523, 24bibi12d 344 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑏) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ↔ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 )))
2625rspccva 3610 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ))
2718, 21, 26syl2an2r 681 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = 0 ↔ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ))
28 nrmmetd.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
293, 28, 4grpsubeq0 18945 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
30293expb 1118 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
312, 30sylan 578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
3216, 27, 313bitrd 304 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
331adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3421adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
3533, 34ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ)
362adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
37 simprll 775 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
38 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑋)
393, 4grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4133, 40ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ)
42 simprlr 776 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
433, 4grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4436, 42, 38, 43syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋)
4533, 44ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ)
4641, 45readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))) ∈ ℝ)
473, 4grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑐 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
4836, 38, 37, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
4933, 48ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) ∈ ℝ)
503, 4grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
5136, 38, 42, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐 βˆ’ 𝑏) ∈ 𝑋)
5233, 51ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ)
5349, 52readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))) ∈ ℝ)
543, 4grpnnncan2 18956 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
5536, 37, 42, 38, 54syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
5655fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
57 nrmmetd.2 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
5857ralrimivva 3198 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
5958adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
60 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)))
61 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)))
6261oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦)))
6360, 62breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘Ž βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦))))
64 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦) = ((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐)))
6564fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))))
66 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)))
6766oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
6865, 67breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)))))
6963, 68rspc2va 3622 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Ž βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
7040, 44, 59, 69syl21anc 834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘Ž βˆ’ 𝑐) βˆ’ (𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
7156, 70eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))))
72 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 β†’ (𝑏 ∈ 𝑋 ↔ 𝑐 ∈ 𝑋))
7372anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
7473anbi2d 627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
75 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = (π‘Ž βˆ’ 𝑐))
7675fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)))
77 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
7876, 77breq12d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž))))
7974, 78imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))))
802adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
813, 28grpidcl 18886 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝑋)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ∈ 𝑋)
83 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
84 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
853, 4grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
8680, 83, 84, 85syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋)
8758adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
88 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 0 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)))
89 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜ 0 ))
9089oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦)))
9188, 90breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦))))
92 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ ( 0 βˆ’ 𝑦) = ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
9392fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)) = (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
94 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
9594oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
9693, 95breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑏 βˆ’ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜( 0 βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))))
9791, 96rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((( 0 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
9882, 86, 87, 97syl21anc 834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) ≀ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
99 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
1003, 4, 99, 28grpinvval2 18942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
1012, 86, 100syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
1023, 4, 99grpinvsub 18941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
10380, 83, 84, 102syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
104101, 103eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
105104fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜( 0 βˆ’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
1062, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑋)
107 pm5.501 365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘₯ = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)))
108 bicom 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
109107, 108bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 )))
11089eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜ 0 ) = 0))
111109, 110bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 0 β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ↔ (πΉβ€˜ 0 ) = 0))
112111rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ 0 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
11318, 106, 112syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
114113adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
115114oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (0 + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))))
1161adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
117116, 86ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) ∈ ℝ)
118117recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)) ∈ β„‚)
119118addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (0 + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
120115, 119eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž))) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
12198, 105, 1203brtr3d 5178 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
12279, 121chvarvv 2000 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
123122adantrlr 719 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
124 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑋 ↔ 𝑏 ∈ 𝑋))
125124anbi1d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
126125anbi2d 627 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
127 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) = (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)))
128 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑐 βˆ’ π‘Ž) = (𝑐 βˆ’ 𝑏))
129128fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
130127, 129breq12d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
131126, 130imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))))
132131, 122chvarvv 2000 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
133132adantrll 718 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐)) ≀ (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
13441, 45, 49, 52, 123, 133le2addd 11837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑐)) + (πΉβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑐))) ≀ ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
13535, 46, 53, 71, 134letrd 11375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
13615adantrr 713 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
137 opelxpi 5712 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
13838, 37, 137syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
139 fvco3 6989 . . . . . . . . . 10 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)))
1406, 138, 139syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)))
141 df-ov 7414 . . . . . . . . 9 (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) = ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
142 df-ov 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑐 βˆ’ π‘Ž) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
143142fveq2i 6893 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©))
144140, 141, 1433eqtr4g 2795 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)))
145 opelxpi 5712 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
14638, 42, 145syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
147 fvco3 6989 . . . . . . . . . 10 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)))
1486, 146, 147syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)))
149 df-ov 7414 . . . . . . . . 9 (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = ((𝐹 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
150 df-ov 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑐 βˆ’ 𝑏) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
151150fveq2i 6893 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)) = (πΉβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©))
152148, 149, 1513eqtr4g 2795 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏)))
153144, 152oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)) = ((πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘Ž)) + (πΉβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑏))))
154135, 136, 1533brtr4d 5179 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)))
155154expr 455 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐 ∈ 𝑋 β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))
156155ralrimiv 3143 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)))
15732, 156jca 510 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))
158157ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))
1593fvexi 6904 . . 3 𝑋 ∈ V
160 ismet 24049 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏))))))
161159, 160ax-mp 5 . 2 ((𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (((π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Ž(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )π‘Ž) + (𝑐(𝐹 ∘ βˆ’ )𝑏)))))
1628, 158, 161sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ≀ cle 11253  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  -gcsg 18857  Metcmet 21130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-met 21138
This theorem is referenced by:  abvmet  24304  tngngpd  24390
  Copyright terms: Public domain W3C validator