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Theorem nrmmetd 24587

Description: Show that a group norm generates a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
nrmmetd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nrmmetd.m	⊢ − = (-_g‘𝐺)
nrmmetd.z	⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
nrmmetd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nrmmetd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
nrmmetd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
nrmmetd.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

**Assertion**
Ref	Expression
nrmmetd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦, − 𝑥, 0 ,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦 𝑥,𝑋,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrmmetd Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmmetd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		nrmmetd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		nrmmetd.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		nrmmetd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-_g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 19037	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		fco 6760	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
9		opelxpi 5722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
10		fvco3 7008	. . . . . . . 8 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
11	6, 9, 10	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
12		df-ov 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
13		df-ov 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
14	13	fveq2i 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
15	11, 12, 14	3eqtr4g 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
17		nrmmetd.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
18	17	ralrimiva 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
19	3, 4	grpsubcl 19038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
20	19	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
21	2, 20	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
22		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
23	22	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
24		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
25	23, 24	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 )))
26	25	rspccva 3621	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
27	18, 21, 26	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
28		nrmmetd.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
29	3, 28, 4	grpsubeq0 19044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
30	29	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
31	2, 30	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
32	16, 27, 31	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
33	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
34	21	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
35	33, 34	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ∈ ℝ)
36	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
37		simprll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
38		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
39	3, 4	grpsubcl 19038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
41	33, 40	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ∈ ℝ)
42		simprlr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
43	3, 4	grpsubcl 19038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
44	36, 42, 38, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
45	33, 44	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ∈ ℝ)
46	41, 45	readdcld 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ∈ ℝ)
47	3, 4	grpsubcl 19038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
48	36, 38, 37, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
49	33, 48	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ∈ ℝ)
50	3, 4	grpsubcl 19038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
51	36, 38, 42, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
52	33, 51	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) ∈ ℝ)
53	49, 52	readdcld 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))) ∈ ℝ)
54	3, 4	grpnnncan2 19055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
55	36, 37, 42, 38, 54	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
56	55	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
57		nrmmetd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
58	57	ralrimivva 3202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
60		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)))
61		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
62	61	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)))
63	60, 62	breq12d 5156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦))))
64		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝑎 − 𝑐) − 𝑦) = ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)))
65	64	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))))
66		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
67	66	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
68	65, 67	breq12d 5156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))))
69	63, 68	rspc2va 3634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
70	40, 44, 59, 69	syl21anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
71	56, 70	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
72		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ 𝑋 ↔ 𝑐 ∈ 𝑋))
73	72	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
74	73	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
75		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑐))
76	75	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
77		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
78	76, 77	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))))
79	74, 78	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))))
80	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
81	3, 28	grpidcl 18983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ 𝑋)
83		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
84		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
85	3, 4	grpsubcl 19038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
86	80, 83, 84, 85	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
87	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
88		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − 𝑦)))
89		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘ 0 ))
90	89	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)))
91	88, 90	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦))))
92		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ( 0 − 𝑦) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
93	92	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘( 0 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))))
94		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
95	94	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
96	93, 95	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))))
97	91, 96	rspc2va 3634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( 0 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
98	82, 86, 87, 97	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
99		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inv_g‘𝐺) = (inv_g‘𝐺)
100	3, 4, 99, 28	grpinvval2 19041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
101	2, 86, 100	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
102	3, 4, 99	grpinvsub 19040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
103	80, 83, 84, 102	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
104	101, 103	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ( 0 − (𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
105	104	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
106	2, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
107		pm5.501 366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)))
108		bicom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
109	107, 108	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 )))
110	89	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
111	109, 110	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
112	111	rspccva 3621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ 0 ∈ 𝑋) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
113	18, 106, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
115	114	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
116	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
117	116, 86	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℝ)
118	117	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
119	118	addlidd 11462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
120	115, 119	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
121	98, 105, 120	3brtr3d 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
122	79, 121	chvarvv 1998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
123	122	adantrlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
124		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↔ 𝑏 ∈ 𝑋))
125	124	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
126	125	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
127		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
128		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 − 𝑎) = (𝑐 − 𝑏))
129	128	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
130	127, 129	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
131	126, 130	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))))
132	131, 122	chvarvv 1998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
133	132	adantrll 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
134	41, 45, 49, 52, 123, 133	le2addd 11882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
135	35, 46, 53, 71, 134	letrd 11418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
136	15	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
137		opelxpi 5722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
138	38, 37, 137	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
139		fvco3 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
140	6, 138, 139	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
141		df-ov 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
142		df-ov 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑎) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
143	142	fveq2i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩))
144	140, 141, 143	3eqtr4g 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
145		opelxpi 5722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
146	38, 42, 145	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
147		fvco3 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
148	6, 146, 147	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
149		df-ov 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
150		df-ov 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
151	150	fveq2i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩))
152	148, 149, 151	3eqtr4g 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
153	144, 152	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)) = ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
154	135, 136, 153	3brtr4d 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
155	154	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ 𝑋 → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
156	155	ralrimiv 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
157	32, 156	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
158	157	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
159	3	fvexi 6920	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
160		ismet 24333	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))))
161	159, 160	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))))
162	8, 158, 161	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ∀wral 3061 Vcvv 3480 ⟨cop 4632 class class class wbr 5143 × cxp 5683 ∘ ccom 5689 ⟶wf 6557 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℝcr 11154 0cc0 11155 + caddc 11158 ≤ cle 11296 Basecbs 17247 0_gc0g 17484 Grpcgrp 18951 inv_gcminusg 18952 -_gcsg 18953 Metcmet 21350

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-id 5578 df-po 5592 df-so 5593 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-er 8745 df-map 8868 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-0g 17486 df-mgm 18653 df-sgrp 18732 df-mnd 18748 df-grp 18954 df-minusg 18955 df-sbg 18956 df-met 21358

This theorem is referenced by: abvmet 24588 tngngpd 24674

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