Theorem grpolinv 30558

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
grpinv.2	⊢ 𝑈 = (GId‘𝐺)
grpinv.3	⊢ 𝑁 = (inv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpolinv	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴)𝐺𝐴) = 𝑈)

Proof of Theorem grpolinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2		grpinv.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (GId‘𝐺)
3		grpinv.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (inv‘𝐺)
4	1, 2, 3	grpoinv 30557	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘𝐴)𝐺𝐴) = 𝑈 ∧ (𝐴𝐺(𝑁‘𝐴)) = 𝑈))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴)𝐺𝐴) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  GrpOpcgr 30521  GIdcgi 30522  invcgn 30523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527

This theorem is referenced by:  grpoinvid1  30560  grpoinvid2  30561  grpolcan  30562  grpo2inv  30563  grponpcan  30575  nvlinv  30684  hhssabloilem  31293  rngoaddneg2  37889  isdrngo2  37918