Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq1 7365 |
. . . 4
β’ ((πβπ΄) = π΅ β ((πβπ΄)πΊπ΄) = (π΅πΊπ΄)) |
2 | 1 | adantl 483 |
. . 3
β’ (((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (πβπ΄) = π΅) β ((πβπ΄)πΊπ΄) = (π΅πΊπ΄)) |
3 | | grpinv.1 |
. . . . . 6
β’ π = ran πΊ |
4 | | grpinv.2 |
. . . . . 6
β’ π = (GIdβπΊ) |
5 | | grpinv.3 |
. . . . . 6
β’ π = (invβπΊ) |
6 | 3, 4, 5 | grpolinv 29510 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π) β ((πβπ΄)πΊπ΄) = π) |
7 | 6 | 3adant3 1133 |
. . . 4
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβπ΄)πΊπ΄) = π) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . 3
β’ (((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (πβπ΄) = π΅) β ((πβπ΄)πΊπ΄) = π) |
9 | 2, 8 | eqtr3d 2775 |
. 2
β’ (((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (πβπ΄) = π΅) β (π΅πΊπ΄) = π) |
10 | 3, 5 | grpoinvcl 29508 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π) β (πβπ΄) β π) |
11 | 3, 4 | grpolid 29500 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β GrpOp β§ (πβπ΄) β π) β (ππΊ(πβπ΄)) = (πβπ΄)) |
12 | 10, 11 | syldan 592 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π) β (ππΊ(πβπ΄)) = (πβπ΄)) |
13 | 12 | 3adant3 1133 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (ππΊ(πβπ΄)) = (πβπ΄)) |
14 | 13 | eqcomd 2739 |
. . . 4
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (πβπ΄) = (ππΊ(πβπ΄))) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . 3
β’ (((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π΅πΊπ΄) = π) β (πβπ΄) = (ππΊ(πβπ΄))) |
16 | | oveq1 7365 |
. . . 4
β’ ((π΅πΊπ΄) = π β ((π΅πΊπ΄)πΊ(πβπ΄)) = (ππΊ(πβπ΄))) |
17 | 16 | adantl 483 |
. . 3
β’ (((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π΅πΊπ΄) = π) β ((π΅πΊπ΄)πΊ(πβπ΄)) = (ππΊ(πβπ΄))) |
18 | | simprr 772 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΊ β GrpOp β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β π΅ β π) |
19 | | simprl 770 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΊ β GrpOp β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β π΄ β π) |
20 | 10 | adantrr 716 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΊ β GrpOp β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πβπ΄) β π) |
21 | 18, 19, 20 | 3jca 1129 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β GrpOp β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π΅ β π β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β π)) |
22 | 3 | grpoass 29487 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β GrpOp β§ (π΅ β π β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β π)) β ((π΅πΊπ΄)πΊ(πβπ΄)) = (π΅πΊ(π΄πΊ(πβπ΄)))) |
23 | 21, 22 | syldan 592 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ β GrpOp β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((π΅πΊπ΄)πΊ(πβπ΄)) = (π΅πΊ(π΄πΊ(πβπ΄)))) |
24 | 23 | 3impb 1116 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((π΅πΊπ΄)πΊ(πβπ΄)) = (π΅πΊ(π΄πΊ(πβπ΄)))) |
25 | 3, 4, 5 | grporinv 29511 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π) β (π΄πΊ(πβπ΄)) = π) |
26 | 25 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π) β (π΅πΊ(π΄πΊ(πβπ΄))) = (π΅πΊπ)) |
27 | 26 | 3adant3 1133 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΅πΊ(π΄πΊ(πβπ΄))) = (π΅πΊπ)) |
28 | 3, 4 | grporid 29501 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΅ β π) β (π΅πΊπ) = π΅) |
29 | 28 | 3adant2 1132 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΅πΊπ) = π΅) |
30 | 24, 27, 29 | 3eqtrd 2777 |
. . . 4
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((π΅πΊπ΄)πΊ(πβπ΄)) = π΅) |
31 | 30 | adantr 482 |
. . 3
β’ (((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π΅πΊπ΄) = π) β ((π΅πΊπ΄)πΊ(πβπ΄)) = π΅) |
32 | 15, 17, 31 | 3eqtr2d 2779 |
. 2
β’ (((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π΅πΊπ΄) = π) β (πβπ΄) = π΅) |
33 | 9, 32 | impbida 800 |
1
β’ ((πΊ β GrpOp β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβπ΄) = π΅ β (π΅πΊπ΄) = π)) |