Theorem cgrahl 28808

Description: Angle congruence preserves null angles. Part of Theorem 11.21 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgrahl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
cgrahl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cgrahl	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)

Proof of Theorem cgrahl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgracol.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		cgrahl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		cgracol.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
5	4	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
6		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
7		cgracol.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
8	7	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
9		cgracol.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		cgracol.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12	11	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
13		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷)
15	1, 2, 3, 13, 5, 12, 10, 14	hlcomd 28585	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝑥)
16	1, 2, 3, 13, 5, 12, 10, 14	hlne1 28586	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑥 ≠ 𝐸)
17		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)
18	1, 2, 3, 6, 8, 12, 10, 17	hlne1 28586	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑦 ≠ 𝐸)
19		cgracol.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
20		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
21	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22		cgracol.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24		cgracol.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
25	24	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26		cgracol.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	26	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
29	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
31		simplr1 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
32	1, 19, 2, 20, 21, 25, 23, 27, 29, 28, 30, 31	cgr3swap12 28504	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑥𝑦”⟩)
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
34	1, 19, 2, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33	tgbtwnxfr 28511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝑦))
35	34	orcd 873	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))
36	9	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	22	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
38	26	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
39	24	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
40	11	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
41		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
42	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
43		simplr1 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
44	1, 19, 2, 20, 36, 39, 37, 38, 42, 40, 41, 43	cgr3rotl 28508	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐸𝑦𝑥”⟩)
45		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
46	1, 19, 2, 20, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45	tgbtwnxfr 28511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝑥))
47	46	olcd 874	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))
48		cgrahl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)
49	1, 2, 3, 24, 26, 22, 9	ishlg 28583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))))
51	50	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
52	51	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
53	35, 47, 52	mpjaodan 960	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))
54	1, 2, 3, 13, 6, 12, 10	ishlg 28583	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → (𝑥(𝐾‘𝐸)𝑦 ↔ (𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝑦 ≠ 𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))))
55	16, 18, 53, 54	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑦)
56	1, 2, 3, 5, 13, 6, 10, 12, 15, 55	hltr 28591	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝑦)
57	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 56, 17	hltr 28591	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)
58		cgracol.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
59	1, 2, 3, 9, 24, 22, 26, 4, 11, 7	iscgra 28790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
60	58, 59	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
61	57, 60	r19.29vva 3193	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ⟨“cs3 14753  Basecbs 17124  distcds 17174  TarskiGcstrkg 28408  Itvcitv 28414  cgrGccgrg 28491  hlGchlg 28581  cgrAccgra 28788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-oadd 8397  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-dju 9803  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242  df-word 14425  df-concat 14482  df-s1 14508  df-s2 14759  df-s3 14760  df-trkgc 28429  df-trkgb 28430  df-trkgcb 28431  df-trkg 28434  df-cgrg 28492  df-hlg 28582  df-cgra 28789

This theorem is referenced by:  cgracol  28809