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Theorem inaghl 28868
Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from 𝐵. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x (𝜑𝑋𝑃)
isinag.a (𝜑𝐴𝑃)
isinag.b (𝜑𝐵𝑃)
isinag.c (𝜑𝐶𝑃)
inagflat.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
inaghl.d (𝜑𝐷𝑃)
inaghl.f (𝜑𝐹𝑃)
inaghl.y (𝜑𝑌𝑃)
inaghl.1 (𝜑𝐷(𝐾𝐵)𝐴)
inaghl.2 (𝜑𝐹(𝐾𝐵)𝐶)
inaghl.3 (𝜑𝑌(𝐾𝐵)𝑋)
Assertion
Ref Expression
inaghl (𝜑𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Proof of Theorem inaghl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isinag.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isinag.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isinag.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 inaghl.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
5 isinag.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 isinag.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 inagflat.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 inaghl.1 . . . 4 (𝜑𝐷(𝐾𝐵)𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlne1 28628 . . 3 (𝜑𝐷𝐵)
10 inaghl.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
11 isinag.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
12 inaghl.2 . . . 4 (𝜑𝐹(𝐾𝐵)𝐶)
131, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12hlne1 28628 . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
14 inaghl.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
15 isinag.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
16 inaghl.3 . . . 4 (𝜑𝑌(𝐾𝐵)𝑋)
171, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16hlne1 28628 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
189, 13, 173jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐵𝐹𝐵𝑌𝐵))
196adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
20 eleq1 2827 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
21 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = 𝐵𝐵 = 𝐵))
22 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦(𝐾𝐵)𝑌𝐵(𝐾𝐵)𝑌))
2321, 22orbi12d 918 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌) ↔ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌)))
2420, 23anbi12d 632 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌))))
2524adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌))))
265adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
274adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2810adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹𝑃)
297adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlcomd 28627 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
32 eqid 2735 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3311adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
341, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12hlcomd 28627 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
36 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
371, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36tgbtwncom 28511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
381, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37btwnhl 28637 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
391, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38tgbtwncom 28511 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
401, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39btwnhl 28637 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
41 eqidd 2736 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 = 𝐵)
4241orcd 873 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌))
4340, 42jca 511 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌)))
4419, 25, 43rspcedvd 3624 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
45 simpllr 776 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝑃)
46 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
4746eleq1d 2824 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4846eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 = 𝐵𝑥 = 𝐵))
4946breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦(𝐾𝐵)𝑌𝑥(𝐾𝐵)𝑌))
5048, 49orbi12d 918 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌) ↔ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌)))
5147, 50anbi12d 632 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌))))
52 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
535ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
544ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷𝑃)
5510ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹𝑃)
567ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
576ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
5830ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
5911ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶𝑃)
6034ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
61 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
621, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61tgbtwncom 28511 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
6352, 62eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
641, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63btwnhl 28637 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
651, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64tgbtwncom 28511 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
661, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65btwnhl 28637 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
6752, 66eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
6852orcd 873 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌))
6967, 68jca 511 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌)))
7045, 51, 69rspcedvd 3624 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
717ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7271ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧𝑃)
746ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐵𝑃)
7574ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐵𝑃)
7611ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐶𝑃)
7776ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶𝑃)
784ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐷𝑃)
7978ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐷𝑃)
8010ad6antr 736 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐹𝑃)
81 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥𝑃)
8281ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥𝑃)
83 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑧)
841, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83hlne2 28629 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧𝐵)
8534ad6antr 736 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
86 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
871, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86tgbtwncom 28511 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
881, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87hlpasch 28779 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
89 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
90 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦𝑃)
9173ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧𝑃)
9214ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌𝑃)
9372ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9475ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐵𝑃)
95 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾𝐵)𝑦)
961, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95hlcomd 28627 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾𝐵)𝑧)
9781ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥𝑃)
9815ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋𝑃)
9916ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾𝐵)𝑋)
100 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑋)
1011, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100hlcomd 28627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋(𝐾𝐵)𝑥)
1021, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101hltr 28633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾𝐵)𝑥)
103 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
104103simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑧)
1051, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104hltr 28633 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾𝐵)𝑧)
1061, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105hlcomd 28627 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾𝐵)𝑌)
1071, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106hltr 28633 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾𝐵)𝑌)
108107olcd 874 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌))
10989, 108jca 511 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
110109ex 412 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) → ((𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌))))
111110reximdva 3166 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → (∃𝑦𝑃 (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌))))
11288, 111mpd 15 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
1135ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐴𝑃)
11415ad4antr 732 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑋𝑃)
115 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑋)
1161, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115hlne1 28628 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥𝐵)
11730ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
118 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1191, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118tgbtwncom 28511 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
1201, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119hlpasch 28779 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → ∃𝑧𝑃 (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
121112, 120r19.29a 3160 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
12270, 121jaodan 959 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
123122anasss 466 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
124 inagswap.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
1251, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7isinag 28861 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
126124, 125mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
127126simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
128127adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
129123, 128r19.29a 3160 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
13044, 129pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
1311, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7isinag 28861 . 2 (𝜑 → (𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩ ↔ ((𝐷𝐵𝐹𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))))
13218, 130, 131mpbir2and 713 1 (𝜑𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  hlGchlg 28623  inAcinag 28858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkgld 28475  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-leg 28606  df-hlg 28624  df-mir 28676  df-rag 28717  df-perpg 28719  df-inag 28860
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