Theorem inaghl 28913

Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from 𝐵. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
inagflat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
inaghl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
inaghl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
inaghl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
inaghl.1	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
inaghl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
inaghl.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)

Assertion

Ref	Expression
inaghl	⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Proof of Theorem inaghl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isinag.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isinag.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		inaghl.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
5		isinag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		isinag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		inagflat.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		inaghl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 28673	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
10		inaghl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		isinag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		inaghl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
13	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlne1 28673	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐵)
14		inaghl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		isinag.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		inaghl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
17	1, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16	hlne1 28673	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐵)
18	9, 13, 17	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵))
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
21		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
22		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
23	21, 22	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
24	20, 23	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
26	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
29	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomd 28672	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
32		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
33	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlcomd 28672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
37	1, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36	tgbtwncom 28556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
38	1, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37	btwnhl 28682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
39	1, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38	tgbtwncom 28556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
40	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39	btwnhl 28682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
41		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 = 𝐵)
42	41	orcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
43	40, 42	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
44	19, 25, 43	rspcedvd 3566	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
45		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑃)
46		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
47	46	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	46	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑥 = 𝐵))
49	46	breq1d 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
50	48, 49	orbi12d 919	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
51	47, 50	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))))
52		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
53	5	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
54	4	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑃)
55	10	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑃)
56	7	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	6	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
58	30	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
59	11	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	34	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
61		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
62	1, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61	tgbtwncom 28556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
63	52, 62	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
64	1, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63	btwnhl 28682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
65	1, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64	tgbtwncom 28556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
66	1, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65	btwnhl 28682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
67	52, 66	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
68	52	orcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
69	67, 68	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
70	45, 51, 69	rspcedvd 3566	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
71	7	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	71	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
74	6	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑃)
75	74	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
76	11	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	76	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
78	4	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
79	78	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
80	10	ad6antr 737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
81		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑃)
82	81	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
83		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
84	1, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83	hlne2 28674	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ≠ 𝐵)
85	34	ad6antr 737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
86		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
87	1, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86	tgbtwncom 28556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
88	1, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87	hlpasch 28824	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
89		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
90		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
91	73	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
92	14	ad8antr 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
93	72	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
94	75	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
95		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦)
96	1, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95	hlcomd 28672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑧)
97	81	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
98	15	ad8antr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
99	16	ad8antr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
100		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
101	1, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100	hlcomd 28672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋(𝐾‘𝐵)𝑥)
102	1, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101	hltr 28678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑥)
103		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
104	103	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
105	1, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104	hltr 28678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑧)
106	1, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105	hlcomd 28672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑌)
107	1, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106	hltr 28678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)
108	107	olcd 875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))
109	89, 108	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
110	109	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
111	110	reximdva 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
112	88, 111	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
113	5	ad4antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑃)
114	15	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
115		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
116	1, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115	hlne1 28673	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ≠ 𝐵)
117	30	ad4antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
118		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
119	1, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118	tgbtwncom 28556	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
120	1, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119	hlpasch 28824	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
121	112, 120	r19.29a 3145	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
122	70, 121	jaodan 960	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
123	122	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
124		inagswap.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
125	1, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7	isinag 28906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
126	124, 125	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
127	126	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
128	127	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
129	123, 128	r19.29a 3145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
130	44, 129	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
131	1, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7	isinag 28906	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩ ↔ ((𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))))
132	18, 130, 131	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ⟨“cs3 14804  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28495  Itvcitv 28501  hlGchlg 28668  inAcinag 28903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-trkgc 28516  df-trkgb 28517  df-trkgcb 28518  df-trkgld 28520  df-trkg 28521  df-cgrg 28579  df-leg 28651  df-hlg 28669  df-mir 28721  df-rag 28762  df-perpg 28764  df-inag 28905

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