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Theorem inaghl 26314
Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from 𝐵. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x (𝜑𝑋𝑃)
isinag.a (𝜑𝐴𝑃)
isinag.b (𝜑𝐵𝑃)
isinag.c (𝜑𝐶𝑃)
inagflat.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
inaghl.d (𝜑𝐷𝑃)
inaghl.f (𝜑𝐹𝑃)
inaghl.y (𝜑𝑌𝑃)
inaghl.1 (𝜑𝐷(𝐾𝐵)𝐴)
inaghl.2 (𝜑𝐹(𝐾𝐵)𝐶)
inaghl.3 (𝜑𝑌(𝐾𝐵)𝑋)
Assertion
Ref Expression
inaghl (𝜑𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Proof of Theorem inaghl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isinag.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isinag.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isinag.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 inaghl.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
5 isinag.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 isinag.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 inagflat.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 inaghl.1 . . . 4 (𝜑𝐷(𝐾𝐵)𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlne1 26073 . . 3 (𝜑𝐷𝐵)
10 inaghl.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
11 isinag.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
12 inaghl.2 . . . 4 (𝜑𝐹(𝐾𝐵)𝐶)
131, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12hlne1 26073 . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
14 inaghl.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
15 isinag.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
16 inaghl.3 . . . 4 (𝜑𝑌(𝐾𝐵)𝑋)
171, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16hlne1 26073 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
189, 13, 173jca 1121 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐵𝐹𝐵𝑌𝐵))
196adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
20 eleq1 2870 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
21 eqeq1 2799 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = 𝐵𝐵 = 𝐵))
22 breq1 4965 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦(𝐾𝐵)𝑌𝐵(𝐾𝐵)𝑌))
2321, 22orbi12d 913 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌) ↔ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌)))
2420, 23anbi12d 630 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌))))
2524adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌))))
265adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
274adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2810adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹𝑃)
297adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlcomd 26072 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
32 eqid 2795 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3311adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
341, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12hlcomd 26072 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
3534adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
36 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
371, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36tgbtwncom 25956 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
381, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37btwnhl 26082 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
391, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38tgbtwncom 25956 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
401, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39btwnhl 26082 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
41 eqidd 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 = 𝐵)
4241orcd 870 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌))
4340, 42jca 512 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵𝐵(𝐾𝐵)𝑌)))
4419, 25, 43rspcedvd 3566 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
45 simpllr 772 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝑃)
46 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
4746eleq1d 2867 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4846eqeq1d 2797 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 = 𝐵𝑥 = 𝐵))
4946breq1d 4972 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦(𝐾𝐵)𝑌𝑥(𝐾𝐵)𝑌))
5048, 49orbi12d 913 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌) ↔ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌)))
5147, 50anbi12d 630 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌))))
52 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
535ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
544ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷𝑃)
5510ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹𝑃)
567ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
576ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
5830ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
5911ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶𝑃)
6034ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
61 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
621, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61tgbtwncom 25956 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
6352, 62eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
641, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63btwnhl 26082 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
651, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64tgbtwncom 25956 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
661, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65btwnhl 26082 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
6752, 66eqeltrd 2883 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
6852orcd 870 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌))
6967, 68jca 512 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑌)))
7045, 51, 69rspcedvd 3566 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
717ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7271ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧𝑃)
746ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐵𝑃)
7574ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐵𝑃)
7611ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐶𝑃)
7776ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶𝑃)
784ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐷𝑃)
7978ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐷𝑃)
8010ad6antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐹𝑃)
81 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥𝑃)
8281ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥𝑃)
83 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑧)
841, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83hlne2 26074 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧𝐵)
8534ad6antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶(𝐾𝐵)𝐹)
86 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
871, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86tgbtwncom 25956 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
881, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87hlpasch 26224 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
89 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
90 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦𝑃)
9173ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧𝑃)
9214ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌𝑃)
9372ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9475ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐵𝑃)
95 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾𝐵)𝑦)
961, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95hlcomd 26072 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾𝐵)𝑧)
9781ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥𝑃)
9815ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋𝑃)
9916ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾𝐵)𝑋)
100 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑋)
1011, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100hlcomd 26072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋(𝐾𝐵)𝑥)
1021, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101hltr 26078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾𝐵)𝑥)
103 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
104103simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑧)
1051, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104hltr 26078 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾𝐵)𝑧)
1061, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105hlcomd 26072 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾𝐵)𝑌)
1071, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106hltr 26078 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾𝐵)𝑌)
108107olcd 871 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌))
10989, 108jca 512 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
110109ex 413 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) → ((𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌))))
111110reximdva 3237 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → (∃𝑦𝑃 (𝑧(𝐾𝐵)𝑦𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌))))
11288, 111mpd 15 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
1135ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐴𝑃)
11415ad4antr 728 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑋𝑃)
115 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥(𝐾𝐵)𝑋)
1161, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115hlne1 26073 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥𝐵)
11730ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝐴(𝐾𝐵)𝐷)
118 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1191, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118tgbtwncom 25956 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
1201, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119hlpasch 26224 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → ∃𝑧𝑃 (𝑥(𝐾𝐵)𝑧𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
121112, 120r19.29a 3252 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾𝐵)𝑋) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
12270, 121jaodan 952 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
123122anasss 467 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
124 inagswap.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
1251, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7isinag 26307 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
126124, 125mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
127126simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
128127adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
129123, 128r19.29a 3252 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
13044, 129pm2.61dan 809 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))
1311, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7isinag 26307 . 2 (𝜑 → (𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩ ↔ ((𝐷𝐵𝐹𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑦(𝐾𝐵)𝑌)))))
13218, 130, 131mpbir2and 709 1 (𝜑𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  ⟨“cs3 14040  Basecbs 16312  distcds 16403  TarskiGcstrkg 25898  Itvcitv 25904  hlGchlg 26068  inAcinag 26304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-s1 13794  df-s2 14046  df-s3 14047  df-trkgc 25916  df-trkgb 25917  df-trkgcb 25918  df-trkgld 25920  df-trkg 25921  df-cgrg 25979  df-leg 26051  df-hlg 26069  df-mir 26121  df-rag 26162  df-perpg 26164  df-inag 26306
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