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Theorem inaghl 28363
Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from 𝐡. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isinag.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isinag.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
isinag.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
isinag.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
inagflat.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1 (πœ‘ β†’ 𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
inaghl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
inaghl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
inaghl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
inaghl.1 (πœ‘ β†’ 𝐷(πΎβ€˜π΅)𝐴)
inaghl.2 (πœ‘ β†’ 𝐹(πΎβ€˜π΅)𝐢)
inaghl.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋)
Assertion
Ref Expression
inaghl (πœ‘ β†’ π‘Œ(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·π΅πΉβ€βŸ©)

Proof of Theorem inaghl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isinag.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isinag.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 isinag.k . . . 4 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
4 inaghl.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
5 isinag.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6 isinag.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7 inagflat.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 inaghl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷(πΎβ€˜π΅)𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlne1 28123 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐡)
10 inaghl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
11 isinag.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 inaghl.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(πΎβ€˜π΅)𝐢)
131, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12hlne1 28123 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐡)
14 inaghl.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
15 isinag.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
16 inaghl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋)
171, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16hlne1 28123 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝐡)
189, 13, 173jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 β‰  𝐡 ∧ 𝐹 β‰  𝐡 ∧ π‘Œ β‰  𝐡))
196adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
20 eleq1 2819 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
21 eqeq1 2734 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 = 𝐡 ↔ 𝐡 = 𝐡))
22 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ ↔ 𝐡(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))
2321, 22orbi12d 915 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ) ↔ (𝐡 = 𝐡 ∨ 𝐡(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
2420, 23anbi12d 629 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)) ↔ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐡 = 𝐡 ∨ 𝐡(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))))
2524adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)) ↔ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐡 = 𝐡 ∨ 𝐡(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))))
265adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
274adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2810adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
297adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlcomd 28122 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜π΅)𝐷)
3130adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴(πΎβ€˜π΅)𝐷)
32 eqid 2730 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3311adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
341, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12hlcomd 28122 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐹)
3534adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐹)
36 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
371, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36tgbtwncom 28006 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
381, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37btwnhl 28132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
391, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38tgbtwncom 28006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
401, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39btwnhl 28132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
41 eqidd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 = 𝐡)
4241orcd 869 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 = 𝐡 ∨ 𝐡(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))
4340, 42jca 510 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐡 = 𝐡 ∨ 𝐡(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
4419, 25, 43rspcedvd 3613 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
45 simpllr 772 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
46 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
4746eleq1d 2816 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ π‘₯ ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4846eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (𝑦 = 𝐡 ↔ π‘₯ = 𝐡))
4946breq1d 5157 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ ↔ π‘₯(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))
5048, 49orbi12d 915 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ) ↔ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
5147, 50anbi12d 629 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))))
52 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
535ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
544ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
5510ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
567ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
576ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
5830ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴(πΎβ€˜π΅)𝐷)
5911ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
6034ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐹)
61 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢))
621, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐴))
6352, 62eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
641, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63btwnhl 28132 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
651, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64tgbtwncom 28006 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
661, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65btwnhl 28132 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
6752, 66eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷𝐼𝐹))
6852orcd 869 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))
6967, 68jca 510 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
7045, 51, 69rspcedvd 3613 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
717ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7271ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
73 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
746ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7574ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7611ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
7776ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
784ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
7978ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8010ad6antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
81 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
8281ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
83 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧)
841, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83hlne2 28124 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
8534ad6antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐹)
86 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))
871, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86tgbtwncom 28006 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐷𝐼𝐢))
881, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87hlpasch 28274 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
89 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
90 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
9173ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
9214ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
9372ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
9475ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
95 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦)
961, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95hlcomd 28122 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝑧)
9781ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
9815ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
9916ad8antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑋)
100 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)
1011, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100hlcomd 28122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑋(πΎβ€˜π΅)π‘₯)
1021, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101hltr 28128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)π‘₯)
103 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷)))
104103simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧)
1051, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104hltr 28128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΅)𝑧)
1061, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105hlcomd 28122 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑧(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)
1071, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106hltr 28128 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)
108107olcd 870 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))
10989, 108jca 510 . . . . . . . . . 10 (((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
110109ex 411 . . . . . . . . 9 ((((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))))
111110reximdva 3166 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑧(πΎβ€˜π΅)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ))))
11288, 111mpd 15 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
1135ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
11415ad4antr 728 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
115 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)
1161, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115hlne1 28123 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
11730ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ 𝐴(πΎβ€˜π΅)𝐷)
118 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢))
1191, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118tgbtwncom 28006 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐴))
1201, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119hlpasch 28274 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐢𝐼𝐷)))
121112, 120r19.29a 3160 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
12270, 121jaodan 954 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
123122anasss 465 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
124 inagswap.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
1251, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7isinag 28356 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))))
126124, 125mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝑋 β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋))))
127126simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))
128127adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝑋)))
129123, 128r19.29a 3160 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
13044, 129pm2.61dan 809 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))
1311, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7isinag 28356 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·π΅πΉβ€βŸ© ↔ ((𝐷 β‰  𝐡 ∧ 𝐹 β‰  𝐡 ∧ π‘Œ β‰  𝐡) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐡 ∨ 𝑦(πΎβ€˜π΅)π‘Œ)))))
13218, 130, 131mpbir2and 709 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ(inAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·π΅πΉβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  βŸ¨β€œcs3 14797  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  hlGchlg 28118  inAcinag 28353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkgld 27970  df-trkg 27971  df-cgrg 28029  df-leg 28101  df-hlg 28119  df-mir 28171  df-rag 28212  df-perpg 28214  df-inag 28355
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