Theorem inaghl 29365

Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from 𝐵. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
inagflat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
inaghl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
inaghl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
inaghl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
inaghl.1	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
inaghl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
inaghl.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)

Assertion

Ref	Expression
inaghl	⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Proof of Theorem inaghl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isinag.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isinag.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		inaghl.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
5		isinag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		isinag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		inagflat.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		inaghl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 29072	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
10		inaghl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		isinag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		inaghl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
13	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlne1 29072	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐵)
14		inaghl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		isinag.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		inaghl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
17	1, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16	hlne1 29072	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐵)
18	9, 13, 17	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵))
19	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
21		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
22		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
23	21, 22	orbi12d 932	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
24	20, 23	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
26	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
29	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomd 29071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
32		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
33	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlcomd 29071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
36		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
37	1, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36	tgbtwncom 28952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
38	1, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37	btwnhl 29081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
39	1, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38	tgbtwncom 28952	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
40	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39	btwnhl 29081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
41		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 = 𝐵)
42	41	orcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
43	40, 42	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
44	19, 25, 43	rspcedvd 3579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
45		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑃)
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
47	46	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	46	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑥 = 𝐵))
49	46	breq1d 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
50	48, 49	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
51	47, 50	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))))
52		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
53	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
54	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑃)
55	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑃)
56	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	6	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
58	30	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
59	11	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	34	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
61		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
62	1, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61	tgbtwncom 28952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
63	52, 62	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
64	1, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63	btwnhl 29081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
65	1, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64	tgbtwncom 28952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
66	1, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65	btwnhl 29081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
67	52, 66	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
68	52	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
69	67, 68	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
70	45, 51, 69	rspcedvd 3579	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
71	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	71	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
74	6	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑃)
75	74	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
76	11	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
78	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
80	10	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
81		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑃)
82	81	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
83		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
84	1, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83	hlne2 29073	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ≠ 𝐵)
85	34	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
86		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
87	1, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86	tgbtwncom 28952	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
88	1, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87	hlpasch 29235	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
89		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
90		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
91	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
92	14	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
93	72	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
94	75	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
95		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦)
96	1, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95	hlcomd 29071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑧)
97	81	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
98	15	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
99	16	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
100		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
101	1, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100	hlcomd 29071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋(𝐾‘𝐵)𝑥)
102	1, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101	hltr 29077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑥)
103		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
104	103	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
105	1, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104	hltr 29077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑧)
106	1, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105	hlcomd 29071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑌)
107	1, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106	hltr 29077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)
108	107	olcd 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))
109	89, 108	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
110	109	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
111	110	reximdva 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
112	88, 111	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
113	5	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑃)
114	15	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
115		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
116	1, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115	hlne1 29072	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ≠ 𝐵)
117	30	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
118		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
119	1, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118	tgbtwncom 28952	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
120	1, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119	hlpasch 29235	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
121	112, 120	r19.29a 3171	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
122	70, 121	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
123	122	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
124		inagswap.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
125	1, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7	isinag 29358	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
126	124, 125	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
127	126	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
128	127	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
129	123, 128	r19.29a 3171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
130	44, 129	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
131	1, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7	isinag 29358	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩ ↔ ((𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))))
132	18, 130, 131	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ⟨“cs3 14994  Basecbs 17388  distcds 17438  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  hlGchlg 29064  inAcinag 29355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-trkgc 28911  df-trkgb 28912  df-trkgcb 28913  df-trkgld 28915  df-trkg 28916  df-cgrg 28975  df-leg 29047  df-hlg 29065  df-mir 29126  df-rag 29170  df-perpg 29172  df-inag 29357

This theorem is used by: (None)