Theorem inaghl 28528

Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from 𝐵. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
inagflat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
inaghl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
inaghl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
inaghl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
inaghl.1	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
inaghl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
inaghl.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)

Assertion

Ref	Expression
inaghl	⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Proof of Theorem inaghl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isinag.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isinag.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		inaghl.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
5		isinag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		isinag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		inagflat.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		inaghl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 28288	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
10		inaghl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		isinag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		inaghl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
13	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlne1 28288	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐵)
14		inaghl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		isinag.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		inaghl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
17	1, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16	hlne1 28288	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐵)
18	9, 13, 17	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵))
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		eleq1 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
21		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
22		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
23	21, 22	orbi12d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
24	20, 23	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
26	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
29	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomd 28287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
32		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
33	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlcomd 28287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
37	1, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36	tgbtwncom 28171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
38	1, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37	btwnhl 28297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
39	1, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38	tgbtwncom 28171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
40	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39	btwnhl 28297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
41		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 = 𝐵)
42	41	orcd 870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
43	40, 42	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
44	19, 25, 43	rspcedvd 3614	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
45		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑃)
46		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
47	46	eleq1d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	46	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑥 = 𝐵))
49	46	breq1d 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
50	48, 49	orbi12d 916	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
51	47, 50	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))))
52		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
53	5	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
54	4	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑃)
55	10	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑃)
56	7	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	6	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
58	30	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
59	11	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	34	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
61		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
62	1, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61	tgbtwncom 28171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
63	52, 62	eqeltrrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
64	1, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63	btwnhl 28297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
65	1, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64	tgbtwncom 28171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
66	1, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65	btwnhl 28297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
67	52, 66	eqeltrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
68	52	orcd 870	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
69	67, 68	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
70	45, 51, 69	rspcedvd 3614	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
71	7	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	71	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
74	6	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑃)
75	74	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
76	11	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	76	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
78	4	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
79	78	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
80	10	ad6antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
81		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑃)
82	81	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
83		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
84	1, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83	hlne2 28289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ≠ 𝐵)
85	34	ad6antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
86		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
87	1, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86	tgbtwncom 28171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
88	1, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87	hlpasch 28439	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
89		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
90		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
91	73	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
92	14	ad8antr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
93	72	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
94	75	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
95		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦)
96	1, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95	hlcomd 28287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑧)
97	81	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
98	15	ad8antr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
99	16	ad8antr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
100		simp-5r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
101	1, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100	hlcomd 28287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋(𝐾‘𝐵)𝑥)
102	1, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101	hltr 28293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑥)
103		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
104	103	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
105	1, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104	hltr 28293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑧)
106	1, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105	hlcomd 28287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑌)
107	1, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106	hltr 28293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)
108	107	olcd 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))
109	89, 108	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
110	109	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
111	110	reximdva 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
112	88, 111	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
113	5	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑃)
114	15	ad4antr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
115		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
116	1, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115	hlne1 28288	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ≠ 𝐵)
117	30	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
118		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
119	1, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118	tgbtwncom 28171	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
120	1, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119	hlpasch 28439	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
121	112, 120	r19.29a 3161	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
122	70, 121	jaodan 955	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
123	122	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
124		inagswap.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
125	1, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7	isinag 28521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
126	124, 125	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
127	126	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
128	127	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
129	123, 128	r19.29a 3161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
130	44, 129	pm2.61dan 810	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
131	1, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7	isinag 28521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩ ↔ ((𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))))
132	18, 130, 131	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ⟨“cs3 14800  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28110  Itvcitv 28116  hlGchlg 28283  inAcinag 28518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-trkgc 28131  df-trkgb 28132  df-trkgcb 28133  df-trkgld 28135  df-trkg 28136  df-cgrg 28194  df-leg 28266  df-hlg 28284  df-mir 28336  df-rag 28377  df-perpg 28379  df-inag 28520

This theorem is referenced by: (None)