Theorem inaghl 28779

Description: The "point lie in angle" relation is independent of the points chosen on the half lines starting from 𝐵. Theorem 11.25 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
inagflat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
inaghl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
inaghl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
inaghl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
inaghl.1	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
inaghl.2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
inaghl.3	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)

Assertion

Ref	Expression
inaghl	⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Proof of Theorem inaghl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isinag.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isinag.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		inaghl.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
5		isinag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		isinag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		inagflat.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		inaghl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐵)𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 28539	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
10		inaghl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		isinag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		inaghl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐵)𝐶)
13	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlne1 28539	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐵)
14		inaghl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		isinag.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		inaghl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
17	1, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 16	hlne1 28539	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐵)
18	9, 13, 17	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵))
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		eleq1 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
21		eqeq1 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
22		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
23	21, 22	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
24	20, 23	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))))
26	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
29	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomd 28538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
32		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
33	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34	1, 2, 3, 10, 11, 6, 7, 12	hlcomd 28538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
37	1, 32, 2, 29, 26, 19, 33, 36	tgbtwncom 28422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
38	1, 2, 3, 33, 28, 26, 29, 19, 35, 37	btwnhl 28548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
39	1, 32, 2, 29, 28, 19, 26, 38	tgbtwncom 28422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
40	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 19, 31, 39	btwnhl 28548	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
41		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 = 𝐵)
42	41	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌))
43	40, 42	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵(𝐾‘𝐵)𝑌)))
44	19, 25, 43	rspcedvd 3593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
45		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑃)
46		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
47	46	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	46	eqeq1d 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑥 = 𝐵))
49	46	breq1d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌 ↔ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
50	48, 49	orbi12d 918	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌) ↔ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
51	47, 50	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))))
52		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
53	5	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
54	4	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑃)
55	10	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑃)
56	7	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	6	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
58	30	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
59	11	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	34	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
61		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
62	1, 32, 2, 56, 53, 45, 59, 61	tgbtwncom 28422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
63	52, 62	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
64	1, 2, 3, 59, 55, 53, 56, 57, 60, 63	btwnhl 28548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐴))
65	1, 32, 2, 56, 55, 57, 53, 64	tgbtwncom 28422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐹))
66	1, 2, 3, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 65	btwnhl 28548	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
67	52, 66	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
68	52	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌))
69	67, 68	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑌)))
70	45, 51, 69	rspcedvd 3593	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
71	7	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
74	6	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑃)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
76	11	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
78	4	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑃)
79	78	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
80	10	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
81		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑃)
82	81	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
83		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
84	1, 2, 3, 82, 73, 75, 72, 83	hlne2 28540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ≠ 𝐵)
85	34	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐹)
86		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
87	1, 32, 2, 72, 77, 73, 79, 86	tgbtwncom 28422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → 𝑧 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
88	1, 2, 3, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 84, 85, 87	hlpasch 28690	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
89		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
90		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
91	73	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
92	14	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
93	72	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
94	75	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
95		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦)
96	1, 2, 3, 91, 90, 94, 93, 95	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑧)
97	81	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
98	15	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
99	16	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑋)
100		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
101	1, 2, 3, 97, 98, 94, 93, 100	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑋(𝐾‘𝐵)𝑥)
102	1, 2, 3, 92, 98, 97, 93, 94, 99, 101	hltr 28544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑥)
103		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
104	103	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧)
105	1, 2, 3, 92, 97, 91, 93, 94, 102, 104	hltr 28544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑌(𝐾‘𝐵)𝑧)
106	1, 2, 3, 92, 91, 94, 93, 105	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑧(𝐾‘𝐵)𝑌)
107	1, 2, 3, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 106	hltr 28544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)
108	107	olcd 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))
109	89, 108	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
110	109	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
111	110	reximdva 3147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑧(𝐾‘𝐵)𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌))))
112	88, 111	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
113	5	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑃)
114	15	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
115		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)
116	1, 2, 3, 81, 114, 74, 71, 115	hlne1 28539	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ≠ 𝐵)
117	30	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐷)
118		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
119	1, 32, 2, 71, 113, 81, 76, 118	tgbtwncom 28422	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
120	1, 2, 3, 71, 81, 74, 113, 76, 78, 116, 117, 119	hlpasch 28690	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐵)𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
121	112, 120	r19.29a 3142	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
122	70, 121	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
123	122	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
124		inagswap.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
125	1, 2, 3, 15, 5, 6, 11, 7	isinag 28772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
126	124, 125	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
127	126	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
128	127	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
129	123, 128	r19.29a 3142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
130	44, 129	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))
131	1, 2, 3, 14, 4, 6, 10, 7	isinag 28772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩ ↔ ((𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦(𝐾‘𝐵)𝑌)))))
132	18, 130, 131	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ⟨“cs3 14815  Basecbs 17186  distcds 17236  TarskiGcstrkg 28361  Itvcitv 28367  hlGchlg 28534  inAcinag 28769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-trkgc 28382  df-trkgb 28383  df-trkgcb 28384  df-trkgld 28386  df-trkg 28387  df-cgrg 28445  df-leg 28517  df-hlg 28535  df-mir 28587  df-rag 28628  df-perpg 28630  df-inag 28771

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