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Theorem opphl 26106
Description: If two points 𝐴 and 𝐶 lie on the opposite side of a line 𝐷 then any point of the half line (𝑅 𝐴) also lies opposite to 𝐶. Theorem 9.5 of [Schwabhauser] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphl.a (𝜑𝐴𝑃)
opphl.b (𝜑𝐵𝑃)
opphl.c (𝜑𝐶𝑃)
opphl.1 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphl.2 (𝜑𝑅𝐷)
opphl.3 (𝜑𝐴(𝐾𝑅)𝐵)
Assertion
Ref Expression
opphl (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphl
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpg.o . . . . . 6 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5 opphl.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 opphl.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
76ad8antr 730 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 opphl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98ad8antr 730 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 opphl.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11 eqid 2778 . . . . . 6 ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
12 opphl.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
1312ad8antr 730 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑃)
14 eqid 2778 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15 simp-4r 774 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚𝑃)
16 opphl.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
1716ad8antr 730 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑃)
181, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17mircl 26016 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ 𝑃)
19 simplr 759 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦𝐷)
20 simp-6r 778 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝐷)
21 opphl.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝐷)
2221ad8antr 730 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑅𝐷)
23 opphl.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
2423ad8antr 730 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶𝑃)
25 simp-8r 782 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝐷)
26 opphl.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
2726ad8antr 730 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
28 simp-7r 780 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
295, 9, 28perpln1 26065 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
301, 2, 3, 5, 9, 29, 7, 28perpcom 26068 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
31 simp-5r 776 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
325, 9, 31perpln1 26065 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
331, 2, 3, 5, 9, 32, 7, 31perpcom 26068 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑧))
341, 5, 3, 9, 7, 25tglnpt 25904 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝑃)
351, 3, 5, 9, 17, 34, 29tglnne 25983 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑥)
361, 3, 10, 17, 17, 34, 9, 35hlid 25964 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴(𝐾𝑥)𝐴)
37 simpllr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
3837eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) = 𝑧)
391, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 38opphllem6 26104 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴(𝐾𝑥)𝐴 ↔ (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾𝑧)𝐶))
4036, 39mpbid 224 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾𝑧)𝐶)
411, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 18, 36, 40opphllem5 26103 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
4238, 20eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) ∈ 𝐷)
431, 2, 3, 5, 14, 9, 11, 7, 15, 25, 42mirln2 26032 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚𝐷)
441, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17mirmir 26017 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)) = 𝐴)
4544eqcomd 2784 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)))
461, 5, 3, 8, 6, 21tglnpt 25904 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑃)
47 opphl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴(𝐾𝑅)𝐵)
481, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47hlne1 25960 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑅)
4948ad8antr 730 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑅)
501, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 5, 47hlln 25962 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
511, 5, 3, 8, 12, 46, 50tglngne 25905 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑅)
5251ad8antr 730 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑅)
531, 3, 10, 16, 12, 46, 8ishlg 25957 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝑅)𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))))
5447, 53mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))))
5554simp3d 1135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
5655ad8antr 730 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
571, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 17, 13, 18, 22, 41, 43, 45, 49, 52, 56opphllem2 26100 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
58 simpr 479 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
595, 9, 58perpln1 26065 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
601, 2, 3, 5, 9, 59, 7, 58perpcom 26068 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑦))
611, 5, 3, 9, 7, 20tglnpt 25904 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝑃)
621, 3, 10, 18, 24, 61, 9, 40hlne1 25960 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ≠ 𝑧)
631, 3, 10, 18, 24, 61, 9, 5, 40hlln 25962 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝑧))
641, 5, 3, 9, 24, 61, 63tglngne 25905 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶𝑧)
651, 3, 5, 9, 24, 61, 64tglinerflx2 25989 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐿𝑧))
661, 3, 5, 9, 18, 61, 62, 62, 32, 63, 65tglinethru 25991 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
6733, 66breqtrd 4914 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
681, 5, 3, 9, 7, 19tglnpt 25904 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦𝑃)
691, 3, 5, 9, 13, 68, 59tglnne 25983 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑦)
701, 3, 10, 13, 17, 68, 9, 69hlid 25964 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵(𝐾𝑦)𝐵)
711, 3, 10, 18, 24, 61, 9, 40hlcomd 25959 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶(𝐾𝑧)(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
721, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 18, 19, 20, 15, 57, 60, 67, 13, 24, 70, 71opphllem5 26103 . . . . 5 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
731, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26oppne1 26093 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
7450adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
758adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7612adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐵𝑃)
7746adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝑅𝑃)
7851adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐵𝑅)
796adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
80 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐵𝐷)
8121adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝑅𝐷)
821, 3, 5, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 81tglinethru 25991 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
8374, 82eleqtrrd 2862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
8473, 83mtand 806 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
851, 2, 3, 5, 8, 6, 12, 84footex 26073 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
8685ad6antr 726 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → ∃𝑦𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
8772, 86r19.29a 3264 . . . 4 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → 𝐵𝑂𝐶)
888ad4antr 722 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
896ad4antr 722 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
90 simp-4r 774 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝐷)
911, 5, 3, 88, 89, 90tglnpt 25904 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝑃)
92 simplr 759 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝐷)
931, 5, 3, 88, 89, 92tglnpt 25904 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝑃)
941, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26opptgdim2 26097 . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
9594ad4antr 722 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺DimTarskiG≥2)
961, 2, 3, 5, 88, 14, 91, 93, 95midex 26089 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑚𝑃 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
9787, 96r19.29a 3264 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
981, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26oppne2 26094 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
991, 2, 3, 5, 8, 6, 23, 98footex 26073 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
10099ad2antrr 716 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑧𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
10197, 100r19.29a 3264 . 2 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
1021, 2, 3, 5, 8, 6, 16, 73footex 26073 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
103101, 102r19.29a 3264 1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 836  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wrex 3091  cdif 3789   class class class wbr 4888  {copab 4950  ran crn 5358  cfv 6137  (class class class)co 6924  2c2 11434  Basecbs 16259  distcds 16351  TarskiGcstrkg 25785  DimTarskiGcstrkgld 25789  Itvcitv 25791  LineGclng 25792  hlGchlg 25955  pInvGcmir 26007  ⟂Gcperpg 26050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-hash 13440  df-word 13604  df-concat 13665  df-s1 13690  df-s2 14003  df-s3 14004  df-trkgc 25803  df-trkgb 25804  df-trkgcb 25805  df-trkgld 25807  df-trkg 25808  df-cgrg 25866  df-leg 25938  df-hlg 25956  df-mir 26008  df-rag 26049  df-perpg 26051
This theorem is referenced by:  outpasch  26107  lnopp2hpgb  26115
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