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Theorem opphl 28752

Description: If two points 𝐴 and 𝐶 lie on opposite sides of a line 𝐷, then any point of the half line (𝑅𝐴) also lies opposite to 𝐶. Theorem 9.5 of [Schwabhauser] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
opphl	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups: 𝐷,𝑎,𝑏 𝐼,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑡,𝐴 𝑡,𝐵 𝑡,𝐷 𝑡,𝑅 𝑡,𝐶 𝑡,𝐺 𝑡,𝐿 𝑡,𝐼 𝑡,𝐾 𝑡,𝑂 𝑡,𝑃 𝜑,𝑡 𝑡, − 𝑡,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑎,𝑏) 𝐴(𝑎,𝑏) 𝐵(𝑎,𝑏) 𝐶(𝑎,𝑏) 𝑅(𝑎,𝑏) 𝐺(𝑎,𝑏) 𝐾(𝑎,𝑏) 𝐿(𝑎,𝑏) − (𝑎,𝑏) 𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphl Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7	6	ad8antr 740	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		opphl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad8antr 740	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		opphl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
12		opphl.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
13	12	ad8antr 740	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15		simp-4r 783	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚 ∈ 𝑃)
16		opphl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	ad8antr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	1, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17	mircl 28659	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ 𝑃)
19		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
20		simp-6r 787	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
21		opphl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
22	21	ad8antr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑅 ∈ 𝐷)
23		opphl.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	23	ad8antr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
25		simp-8r 791	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26		opphl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
27	26	ad8antr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
28		simp-7r 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
29	5, 9, 28	perpln1 28708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
30	1, 2, 3, 5, 9, 29, 7, 28	perpcom 28711	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
31		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
32	5, 9, 31	perpln1 28708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
33	1, 2, 3, 5, 9, 32, 7, 31	perpcom 28711	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑧))
34	1, 5, 3, 9, 7, 25	tglnpt 28547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
35	1, 3, 5, 9, 17, 34, 29	tglnne 28626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑥)
36	1, 3, 10, 17, 17, 34, 9, 35	hlid 28607	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴(𝐾‘𝑥)𝐴)
37		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
38	37	eqcomd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) = 𝑧)
39	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 38	opphllem6 28750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴(𝐾‘𝑥)𝐴 ↔ (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾‘𝑧)𝐶))
40	36, 39	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾‘𝑧)𝐶)
41	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 18, 36, 40	opphllem5 28749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
42	38, 20	eqeltrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) ∈ 𝐷)
43	1, 2, 3, 5, 14, 9, 11, 7, 15, 25, 42	mirln2 28675	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚 ∈ 𝐷)
44	1, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17	mirmir 28660	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)) = 𝐴)
45	44	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)))
46	1, 5, 3, 8, 6, 21	tglnpt 28547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
47		opphl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵)
48	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47	hlne1 28603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
49	48	ad8antr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑅)
50	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47	hlne2 28604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
51	50	ad8antr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑅)
52	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8	ishlg 28600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))))
53	47, 52	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))))
54	53	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
55	54	ad8antr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 17, 13, 18, 22, 41, 43, 45, 49, 51, 55	opphllem2 28746	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
58	5, 9, 57	perpln1 28708	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
59	1, 2, 3, 5, 9, 58, 7, 57	perpcom 28711	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑦))
60	1, 5, 3, 9, 7, 20	tglnpt 28547	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
61	1, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 40	hlne1 28603	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ≠ 𝑧)
62	1, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 5, 40	hlln 28605	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝑧))
63	1, 3, 5, 9, 24, 60, 32	tglnne 28626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶 ≠ 𝑧)
64	1, 3, 5, 9, 24, 60, 63	tglinerflx2 28632	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐿𝑧))
65	1, 3, 5, 9, 18, 60, 61, 61, 32, 62, 64	tglinethru 28634	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
66	33, 65	breqtrd 5121	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
67	1, 5, 3, 9, 7, 19	tglnpt 28547	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
68	1, 3, 5, 9, 13, 67, 58	tglnne 28626	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑦)
69	1, 3, 10, 13, 17, 67, 9, 68	hlid 28607	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵(𝐾‘𝑦)𝐵)
70	1, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 40	hlcomd 28602	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶(𝐾‘𝑧)(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 18, 19, 20, 15, 56, 59, 66, 13, 24, 69, 70	opphllem5 28749	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
72	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	oppne1 28739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
73	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 5, 47	hlln 28605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
75	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
77	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ 𝑃)
78	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑅)
79	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
80		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
81	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ 𝐷)
82	1, 3, 5, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 81	tglinethru 28634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
83	74, 82	eleqtrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
84	72, 83	mtand 815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
85	1, 2, 3, 5, 8, 6, 12, 84	footex 28719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
86	85	ad6antr 736	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
87	71, 86	r19.29a 3141	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → 𝐵𝑂𝐶)
88	8	ad4antr 732	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
89	6	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
90		simp-4r 783	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
91	1, 5, 3, 88, 89, 90	tglnpt 28547	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
92		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
93	1, 5, 3, 88, 89, 92	tglnpt 28547	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
94	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	opptgdim2 28743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
95	94	ad4antr 732	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
96	1, 2, 3, 5, 88, 14, 91, 93, 95	midex 28735	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝑃 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
97	87, 96	r19.29a 3141	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
98	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	oppne2 28740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
99	1, 2, 3, 5, 8, 6, 23, 98	footex 28719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
100	99	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
101	97, 100	r19.29a 3141	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
102	1, 2, 3, 5, 8, 6, 16, 72	footex 28719	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
103	101, 102	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2929 ∃wrex 3057 ∖ cdif 3895 class class class wbr 5095 {copab 5157 ran crn 5622 ‘cfv 6489 (class class class)co 7355 2c2 12191 Basecbs 17127 distcds 17177 TarskiGcstrkg 28425 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28429 Itvcitv 28431 LineGclng 28432 hlGchlg 28598 pInvGcmir 28650 ⟂Gcperpg 28693

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7677 ax-cnex 11073 ax-resscn 11074 ax-1cn 11075 ax-icn 11076 ax-addcl 11077 ax-addrcl 11078 ax-mulcl 11079 ax-mulrcl 11080 ax-mulcom 11081 ax-addass 11082 ax-mulass 11083 ax-distr 11084 ax-i2m1 11085 ax-1ne0 11086 ax-1rid 11087 ax-rnegex 11088 ax-rrecex 11089 ax-cnre 11090 ax-pre-lttri 11091 ax-pre-lttrn 11092 ax-pre-ltadd 11093 ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4861 df-int 4900 df-iun 4945 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-riota 7312 df-ov 7358 df-oprab 7359 df-mpo 7360 df-om 7806 df-1st 7930 df-2nd 7931 df-frecs 8220 df-wrecs 8251 df-recs 8300 df-rdg 8338 df-1o 8394 df-oadd 8398 df-er 8631 df-map 8761 df-pm 8762 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-dju 9805 df-card 9843 df-pnf 11159 df-mnf 11160 df-xr 11161 df-ltxr 11162 df-le 11163 df-sub 11357 df-neg 11358 df-nn 12137 df-2 12199 df-3 12200 df-n0 12393 df-xnn0 12466 df-z 12480 df-uz 12743 df-fz 13415 df-fzo 13562 df-hash 14245 df-word 14428 df-concat 14485 df-s1 14511 df-s2 14762 df-s3 14763 df-trkgc 28446 df-trkgb 28447 df-trkgcb 28448 df-trkgld 28450 df-trkg 28451 df-cgrg 28509 df-leg 28581 df-hlg 28599 df-mir 28651 df-rag 28692 df-perpg 28694

This theorem is referenced by: outpasch 28753 lnopp2hpgb 28761

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