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Theorem opphl 27019

Description: If two points 𝐴 and 𝐶 lie on opposite sides of a line 𝐷, then any point of the half line (𝑅𝐴) also lies opposite to 𝐶. Theorem 9.5 of [Schwabhauser] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
opphl	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups: 𝐷,𝑎,𝑏 𝐼,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑡,𝐴 𝑡,𝐵 𝑡,𝐷 𝑡,𝑅 𝑡,𝐶 𝑡,𝐺 𝑡,𝐿 𝑡,𝐼 𝑡,𝐾 𝑡,𝑂 𝑡,𝑃 𝜑,𝑡 𝑡, − 𝑡,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑎,𝑏) 𝐴(𝑎,𝑏) 𝐵(𝑎,𝑏) 𝐶(𝑎,𝑏) 𝑅(𝑎,𝑏) 𝐺(𝑎,𝑏) 𝐾(𝑎,𝑏) 𝐿(𝑎,𝑏) − (𝑎,𝑏) 𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphl Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7	6	ad8antr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		opphl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad8antr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		opphl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
12		opphl.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
13	12	ad8antr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15		simp-4r 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚 ∈ 𝑃)
16		opphl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	ad8antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	1, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17	mircl 26926	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ 𝑃)
19		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
20		simp-6r 784	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
21		opphl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
22	21	ad8antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑅 ∈ 𝐷)
23		opphl.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	23	ad8antr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
25		simp-8r 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26		opphl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
27	26	ad8antr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
28		simp-7r 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
29	5, 9, 28	perpln1 26975	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
30	1, 2, 3, 5, 9, 29, 7, 28	perpcom 26978	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
31		simp-5r 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
32	5, 9, 31	perpln1 26975	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
33	1, 2, 3, 5, 9, 32, 7, 31	perpcom 26978	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑧))
34	1, 5, 3, 9, 7, 25	tglnpt 26814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
35	1, 3, 5, 9, 17, 34, 29	tglnne 26893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑥)
36	1, 3, 10, 17, 17, 34, 9, 35	hlid 26874	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴(𝐾‘𝑥)𝐴)
37		simpllr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) = 𝑧)
39	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 38	opphllem6 27017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴(𝐾‘𝑥)𝐴 ↔ (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾‘𝑧)𝐶))
40	36, 39	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾‘𝑧)𝐶)
41	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 18, 36, 40	opphllem5 27016	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
42	38, 20	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) ∈ 𝐷)
43	1, 2, 3, 5, 14, 9, 11, 7, 15, 25, 42	mirln2 26942	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚 ∈ 𝐷)
44	1, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17	mirmir 26927	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)) = 𝐴)
45	44	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)))
46	1, 5, 3, 8, 6, 21	tglnpt 26814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
47		opphl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵)
48	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47	hlne1 26870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
49	48	ad8antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑅)
50	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47	hlne2 26871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
51	50	ad8antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑅)
52	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8	ishlg 26867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))))
53	47, 52	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))))
54	53	simp3d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
55	54	ad8antr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 17, 13, 18, 22, 41, 43, 45, 49, 51, 55	opphllem2 27013	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
58	5, 9, 57	perpln1 26975	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
59	1, 2, 3, 5, 9, 58, 7, 57	perpcom 26978	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑦))
60	1, 5, 3, 9, 7, 20	tglnpt 26814	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
61	1, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 40	hlne1 26870	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ≠ 𝑧)
62	1, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 5, 40	hlln 26872	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝑧))
63	1, 3, 5, 9, 24, 60, 32	tglnne 26893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶 ≠ 𝑧)
64	1, 3, 5, 9, 24, 60, 63	tglinerflx2 26899	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐿𝑧))
65	1, 3, 5, 9, 18, 60, 61, 61, 32, 62, 64	tglinethru 26901	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
66	33, 65	breqtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
67	1, 5, 3, 9, 7, 19	tglnpt 26814	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
68	1, 3, 5, 9, 13, 67, 58	tglnne 26893	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑦)
69	1, 3, 10, 13, 17, 67, 9, 68	hlid 26874	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵(𝐾‘𝑦)𝐵)
70	1, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 40	hlcomd 26869	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶(𝐾‘𝑧)(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 18, 19, 20, 15, 56, 59, 66, 13, 24, 69, 70	opphllem5 27016	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
72	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	oppne1 27006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
73	1, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 5, 47	hlln 26872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
75	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
77	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ 𝑃)
78	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑅)
79	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
80		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
81	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ 𝐷)
82	1, 3, 5, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 81	tglinethru 26901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
83	74, 82	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
84	72, 83	mtand 812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
85	1, 2, 3, 5, 8, 6, 12, 84	footex 26986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
86	85	ad6antr 732	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
87	71, 86	r19.29a 3217	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → 𝐵𝑂𝐶)
88	8	ad4antr 728	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
89	6	ad4antr 728	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
90		simp-4r 780	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
91	1, 5, 3, 88, 89, 90	tglnpt 26814	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
92		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
93	1, 5, 3, 88, 89, 92	tglnpt 26814	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
94	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	opptgdim2 27010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
95	94	ad4antr 728	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
96	1, 2, 3, 5, 88, 14, 91, 93, 95	midex 27002	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝑃 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
97	87, 96	r19.29a 3217	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
98	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26	oppne2 27007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
99	1, 2, 3, 5, 8, 6, 23, 98	footex 26986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
100	99	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
101	97, 100	r19.29a 3217	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
102	1, 2, 3, 5, 8, 6, 16, 72	footex 26986	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
103	101, 102	r19.29a 3217	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 843 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 ∃wrex 3064 ∖ cdif 3880 class class class wbr 5070 {copab 5132 ran crn 5581 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 2c2 11958 Basecbs 16840 distcds 16897 TarskiGcstrkg 26693 Dim_TarskiG≥cstrkgld 26697 Itvcitv 26699 LineGclng 26700 hlGchlg 26865 pInvGcmir 26917 ⟂Gcperpg 26960

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-1o 8267 df-oadd 8271 df-er 8456 df-map 8575 df-pm 8576 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-dju 9590 df-card 9628 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-n0 12164 df-xnn0 12236 df-z 12250 df-uz 12512 df-fz 13169 df-fzo 13312 df-hash 13973 df-word 14146 df-concat 14202 df-s1 14229 df-s2 14489 df-s3 14490 df-trkgc 26713 df-trkgb 26714 df-trkgcb 26715 df-trkgld 26717 df-trkg 26718 df-cgrg 26776 df-leg 26848 df-hlg 26866 df-mir 26918 df-rag 26959 df-perpg 26961

This theorem is referenced by: outpasch 27020 lnopp2hpgb 27028

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