Theorem hltr 29091

Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
hltr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hltr	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Proof of Theorem hltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 29086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		hltr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)
12	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11	hlne2 29087	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
21	1, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	tgbtwnexch 28976	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
22	21	orcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
23	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	4	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	5	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
29		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
30	1, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	tgbtwnconn3 29055	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
31	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7	ishlg 29083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))))
32	11, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))))
33	32	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
35	22, 30, 34	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
36	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	5	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	4	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
40	10	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
41	32	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
42	41	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
43	42	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ≠ 𝐵)
44		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
46	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45	tgbtwnconn1 29053	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
47	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
48	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
49	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
50	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
52		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
53		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
54	1, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	tgbtwnexch 28976	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
55	54	olcd 888	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
56	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
57	46, 55, 56	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlg 29083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
59	8, 58	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
60	59	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
61	35, 57, 60	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
62	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7	ishlg 29083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
63	9, 12, 61, 62	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  distcds 17452  TarskiGcstrkg 28904  Itvcitv 28910  hlGchlg 29078

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013  df-s3 15014  df-trkgc 28925  df-trkgb 28926  df-trkgcb 28927  df-trkg 28930  df-cgrg 28989  df-hlg 29079

This theorem is used by:  opphllem4  29241  cgrahl1  29338  cgrahl2  29339  zerocgra  29346  cgrahl  29350  acopyeu  29357  inaghl  29379  angmgmaddeu4  29397  cgrahlb  33062