Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hltr 26402
 Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hltr.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
hltr.2 (𝜑𝐵(𝐾𝐷)𝐶)
Assertion
Ref Expression
hltr (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐶)

Proof of Theorem hltr
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
5 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
6 hltr.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
7 hlln.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 hltr.1 . . 3 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlne1 26397 . 2 (𝜑𝐴𝐷)
10 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
11 hltr.2 . . 3 (𝜑𝐵(𝐾𝐷)𝐶)
121, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11hlne2 26398 . 2 (𝜑𝐶𝐷)
13 eqid 2822 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
147ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
164ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
175ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
1810ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
19 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
20 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
211, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20tgbtwnexch 26290 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
2221orcd 870 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
237ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
246ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
254ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
2610ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
275ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
28 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
29 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
301, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29tgbtwnconn3 26369 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
311, 2, 3, 5, 10, 6, 7ishlg 26394 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(𝐾𝐷)𝐶 ↔ (𝐵𝐷𝐶𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))))
3211, 31mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐷𝐶𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))))
3332simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
3433adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
3522, 30, 34mpjaodan 956 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
367ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
376ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
385ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
394ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
4010ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
4132simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐷)
4241necomd 3066 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
4342ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷𝐵)
44 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
461, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45tgbtwnconn1 26367 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
477ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
486ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
4910ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
505ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
514ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
52 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
53 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
541, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53tgbtwnexch 26290 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
5554olcd 871 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
5633adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
5746, 55, 56mpjaodan 956 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7ishlg 26394 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
598, 58mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
6059simp3d 1141 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
6135, 57, 60mpjaodan 956 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
621, 2, 3, 4, 10, 6, 7ishlg 26394 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐶 ↔ (𝐴𝐷𝐶𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
639, 12, 61, 62mpbir3and 1339 1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  distcds 16565  TarskiGcstrkg 26222  Itvcitv 26228  hlGchlg 26392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26240  df-trkgb 26241  df-trkgcb 26242  df-trkg 26245  df-cgrg 26303  df-hlg 26393 This theorem is referenced by:  opphllem4  26542  cgrahl1  26608  cgrahl2  26609  cgrahl  26619  acopyeu  26626  inaghl  26637
 Copyright terms: Public domain W3C validator