Theorem hltr 28696

Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
hltr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hltr	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Proof of Theorem hltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 28691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		hltr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)
12	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11	hlne2 28692	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14	7	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	4	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	10	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
21	1, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	tgbtwnexch 28584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
22	21	orcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
23	7	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	4	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	5	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
30	1, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	tgbtwnconn3 28663	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
31	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7	ishlg 28688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))))
32	11, 31	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))))
33	32	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
35	22, 30, 34	mpjaodan 961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
36	7	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	6	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	5	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	4	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
40	10	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
41	32	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
42	41	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
43	42	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ≠ 𝐵)
44		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
46	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45	tgbtwnconn1 28661	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
47	7	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
48	6	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
49	10	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
50	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	4	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
52		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
53		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
54	1, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	tgbtwnexch 28584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
55	54	olcd 875	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
56	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
57	46, 55, 56	mpjaodan 961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlg 28688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
59	8, 58	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
60	59	simp3d 1145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
61	35, 57, 60	mpjaodan 961	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
62	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7	ishlg 28688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
63	9, 12, 61, 62	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  distcds 17224  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  hlGchlg 28686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28534  df-trkgb 28535  df-trkgcb 28536  df-trkg 28539  df-cgrg 28597  df-hlg 28687

This theorem is referenced by:  opphllem4  28836  cgrahl1  28902  cgrahl2  28903  cgrahl  28913  acopyeu  28920  inaghl  28931