Theorem hltr 28555

Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
hltr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hltr	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Proof of Theorem hltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 28550	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		hltr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)
12	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11	hlne2 28551	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
21	1, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	tgbtwnexch 28443	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
22	21	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
23	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
30	1, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	tgbtwnconn3 28522	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
31	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7	ishlg 28547	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))))
32	11, 31	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))))
33	32	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
35	22, 30, 34	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
36	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
40	10	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
41	32	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
42	41	necomd 2980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
43	42	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ≠ 𝐵)
44		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
46	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45	tgbtwnconn1 28520	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
47	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
48	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
49	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
50	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
52		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
53		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
54	1, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	tgbtwnexch 28443	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
55	54	olcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
56	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
57	46, 55, 56	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlg 28547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
59	8, 58	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
60	59	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
61	35, 57, 60	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
62	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7	ishlg 28547	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
63	9, 12, 61, 62	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28372  Itvcitv 28378  hlGchlg 28545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28393  df-trkgb 28394  df-trkgcb 28395  df-trkg 28398  df-cgrg 28456  df-hlg 28546

This theorem is referenced by:  opphllem4  28695  cgrahl1  28761  cgrahl2  28762  cgrahl  28772  acopyeu  28779  inaghl  28790