MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hltr 26323
Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hltr.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
hltr.2 (𝜑𝐵(𝐾𝐷)𝐶)
Assertion
Ref Expression
hltr (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐶)

Proof of Theorem hltr
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
5 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
6 hltr.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
7 hlln.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 hltr.1 . . 3 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlne1 26318 . 2 (𝜑𝐴𝐷)
10 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
11 hltr.2 . . 3 (𝜑𝐵(𝐾𝐷)𝐶)
121, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11hlne2 26319 . 2 (𝜑𝐶𝐷)
13 eqid 2818 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
147ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
164ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
175ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
1810ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
19 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
20 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
211, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20tgbtwnexch 26211 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
2221orcd 869 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
237ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
246ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
254ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
2610ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
275ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
28 simplr 765 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
29 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
301, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29tgbtwnconn3 26290 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
311, 2, 3, 5, 10, 6, 7ishlg 26315 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(𝐾𝐷)𝐶 ↔ (𝐵𝐷𝐶𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))))
3211, 31mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐷𝐶𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))))
3332simp3d 1136 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
3433adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
3522, 30, 34mpjaodan 952 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
367ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
376ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
385ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
394ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
4010ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
4132simp1d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐷)
4241necomd 3068 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
4342ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷𝐵)
44 simplr 765 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
461, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45tgbtwnconn1 26288 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
477ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
486ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
4910ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
505ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
514ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
52 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
53 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
541, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53tgbtwnexch 26211 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
5554olcd 870 . . . 4 (((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
5633adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
5746, 55, 56mpjaodan 952 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7ishlg 26315 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
598, 58mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
6059simp3d 1136 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
6135, 57, 60mpjaodan 952 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
621, 2, 3, 4, 10, 6, 7ishlg 26315 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐶 ↔ (𝐴𝐷𝐶𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
639, 12, 61, 62mpbir3and 1334 1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  hlGchlg 26313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-hlg 26314
This theorem is referenced by:  opphllem4  26463  cgrahl1  26529  cgrahl2  26530  cgrahl  26540  acopyeu  26547  inaghl  26558
  Copyright terms: Public domain W3C validator