Theorem hltr 28588

Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
hltr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hltr	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Proof of Theorem hltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 28583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		hltr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)
12	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11	hlne2 28584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
21	1, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	tgbtwnexch 28476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
22	21	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
23	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
30	1, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	tgbtwnconn3 28555	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
31	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7	ishlg 28580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))))
32	11, 31	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))))
33	32	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
35	22, 30, 34	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
36	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
40	10	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
41	32	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
42	41	necomd 2983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
43	42	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ≠ 𝐵)
44		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
46	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45	tgbtwnconn1 28553	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
47	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
48	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
49	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
50	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
52		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
53		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
54	1, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	tgbtwnexch 28476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
55	54	olcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
56	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
57	46, 55, 56	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlg 28580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
59	8, 58	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
60	59	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
61	35, 57, 60	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
62	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7	ishlg 28580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
63	9, 12, 61, 62	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28405  Itvcitv 28411  hlGchlg 28578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28426  df-trkgb 28427  df-trkgcb 28428  df-trkg 28431  df-cgrg 28489  df-hlg 28579

This theorem is referenced by:  opphllem4  28728  cgrahl1  28794  cgrahl2  28795  cgrahl  28805  acopyeu  28812  inaghl  28823