MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hltr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hltr 27899
Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hltr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜π·)𝐡)
hltr.2 (πœ‘ β†’ 𝐡(πΎβ€˜π·)𝐢)
Assertion
Ref Expression
hltr (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜π·)𝐢)
Proof of Theorem hltr
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
4 ishlg.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5 ishlg.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
6 hltr.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
7 hlln.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hltr.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜π·)𝐡)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlne1 27894 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐷)
10 ishlg.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
11 hltr.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡(πΎβ€˜π·)𝐢)
121, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11hlne2 27895 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
13 eqid 2732 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
147ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
156ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
164ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
175ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1810ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
19 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡))
20 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢))
211, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20tgbtwnexch 27787 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢))
2221orcd 871 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
237ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
246ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
254ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2610ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
275ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
28 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡))
29 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡))
301, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29tgbtwnconn3 27866 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
311, 2, 3, 5, 10, 6, 7ishlg 27891 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡(πΎβ€˜π·)𝐢 ↔ (𝐡 β‰  𝐷 ∧ 𝐢 β‰  𝐷 ∧ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)))))
3211, 31mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰  𝐷 ∧ 𝐢 β‰  𝐷 ∧ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡))))
3332simp3d 1144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)))
3433adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)))
3522, 30, 34mpjaodan 957 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
367ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
376ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
385ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
394ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4010ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4132simp1d 1142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐷)
4241necomd 2996 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐡)
4342ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 β‰  𝐡)
44 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢))
461, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45tgbtwnconn1 27864 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
477ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
486ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
4910ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
505ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
514ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
52 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡))
53 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
541, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53tgbtwnexch 27787 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
5554olcd 872 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
5633adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐡)))
5746, 55, 56mpjaodan 957 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7ishlg 27891 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜π·)𝐡 ↔ (𝐴 β‰  𝐷 ∧ 𝐡 β‰  𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
598, 58mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  𝐷 ∧ 𝐡 β‰  𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
6059simp3d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
6135, 57, 60mpjaodan 957 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
621, 2, 3, 4, 10, 6, 7ishlg 27891 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜π·)𝐢 ↔ (𝐴 β‰  𝐷 ∧ 𝐢 β‰  𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
639, 12, 61, 62mpbir3and 1342 1 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜π·)𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  distcds 17208  TarskiGcstrkg 27716  Itvcitv 27722  hlGchlg 27889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 27737  df-trkgb 27738  df-trkgcb 27739  df-trkg 27742  df-cgrg 27800  df-hlg 27890
This theorem is referenced by:  opphllem4  28039  cgrahl1  28105  cgrahl2  28106  cgrahl  28116  acopyeu  28123  inaghl  28134
  Copyright terms: Public domain W3C validator