Theorem hltr 29076

Description: The half-line relation is transitive. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
hltr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hltr	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

Proof of Theorem hltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlne1 29071	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		hltr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶)
12	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7, 11	hlne2 29072	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
21	1, 13, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	tgbtwnexch 28961	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
22	21	orcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
23	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	4	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	5	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
28		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
29		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
30	1, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	tgbtwnconn3 29040	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
31	1, 2, 3, 5, 10, 6, 7	ishlg 29068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))))
32	11, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))))
33	32	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
35	22, 30, 34	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
36	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	5	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	4	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
40	10	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
41	32	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
42	41	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
43	42	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐷 ≠ 𝐵)
44		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
45		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
46	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45	tgbtwnconn1 29038	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
47	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
48	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
49	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
50	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
52		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
53		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
54	1, 13, 2, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	tgbtwnexch 28961	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
55	54	olcd 888	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
56	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵)))
57	46, 55, 56	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlg 29068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
59	8, 58	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
60	59	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
61	35, 57, 60	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
62	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7	ishlg 29068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
63	9, 12, 61, 62	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  hlGchlg 29063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-hlg 29064

This theorem is used by:  opphllem4  29226  cgrahl1  29323  cgrahl2  29324  zerocgra  29331  cgrahl  29335  acopyeu  29342  inaghl  29364  angmgmaddeu4  29382