MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlne2 26871
Description: The half-line relation implies inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlne2 (𝜑𝐵𝐶)

Proof of Theorem hlne2
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . . 3 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ishlg 26867 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
101, 9mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
1110simp2d 1141 1 (𝜑𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942   class class class wbr 5070  cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Itvcitv 26699  hlGchlg 26865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-hlg 26866
This theorem is referenced by:  hltr  26875  hlperpnel  26990  opphllem4  27015  opphllem5  27016  opphl  27019  hlpasch  27021  colhp  27035  iscgra1  27075  cgrane3  27079  cgrane4  27080  cgracgr  27083  inaghl  27110
  Copyright terms: Public domain W3C validator