MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlne2 26396
Description: The half-line relation implies inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlne2 (𝜑𝐵𝐶)

Proof of Theorem hlne2
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . . 3 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ishlg 26392 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
101, 9mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
1110simp2d 1140 1 (𝜑𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  Itvcitv 26226  hlGchlg 26390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-hlg 26391
This theorem is referenced by:  hltr  26400  hlperpnel  26515  opphllem4  26540  opphllem5  26541  opphl  26544  hlpasch  26546  colhp  26560  iscgra1  26600  cgrane3  26604  cgrane4  26605  cgracgr  26608  inaghl  26635
  Copyright terms: Public domain W3C validator