MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlne2 28615
Description: The half-line relation implies inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlne2 (𝜑𝐵𝐶)

Proof of Theorem hlne2
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . . 3 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ishlg 28611 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
101, 9mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
1110simp2d 1143 1 (𝜑𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Itvcitv 28442  hlGchlg 28609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-hlg 28610
This theorem is referenced by:  hltr  28619  hlperpnel  28734  opphllem4  28759  opphllem5  28760  opphl  28763  hlpasch  28765  colhp  28779  iscgra1  28819  cgrane3  28823  cgrane4  28824  cgracgr  28827  inaghl  28854
  Copyright terms: Public domain W3C validator