Theorem hlne2 28859

Description: The half-line relation implies inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
hlcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlne2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem hlne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcomd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
2		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ishlg.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ishlg 28855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
10	1, 9	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
11	10	simp2d 1161	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Itvcitv 28683  hlGchlg 28850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-hlg 28851

This theorem is referenced by:  hltr  28863  hlperpnel  28987  opphllem4  29012  opphllem5  29013  opphl  29016  hlpasch  29019  colhp  29033  iscgra1  29102  cgrane3  29106  cgrane4  29107  cgracgr  29110  inaghl  29143