MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopomap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopomap 23566
Description: If 𝐹 is a surjective continuous open map, then it is a quotient map. (An open map is a function that maps open sets to open sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
qtopomap.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
qtopomap.6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
qtopomap.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
qtopomap (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ

Proof of Theorem qtopomap
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 qtopomap.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 qtopomap.6 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
4 qtopss 23563 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran 𝐹 = π‘Œ) β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
6 cntop1 23088 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 toptopon2 22764 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
97, 8sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
10 cnf2 23097 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
119, 2, 1, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
1211ffnd 6709 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
13 df-fo 6540 . . . . . 6 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ↔ (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 = π‘Œ))
1412, 3, 13sylanbrc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
15 elqtop3 23551 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
169, 14, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
17 foimacnv 6841 . . . . . . . 8 ((𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
1814, 17sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
1918adantrr 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
20 imaeq2 6046 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
2120eleq1d 2810 . . . . . . 7 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ 𝐾))
22 qtopomap.7 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
2322ralrimiva 3138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
25 simprr 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
2621, 24, 25rspcdva 3605 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ 𝐾)
2719, 26eqeltrrd 2826 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
2827ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
2916, 28sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
3029ssrdv 3981 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) βŠ† 𝐾)
315, 30eqssd 3992 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4900  β—‘ccnv 5666  ran crn 5668   β€œ cima 5670   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€“ontoβ†’wfo 6532  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   qTop cqtop 17454  Topctop 22739  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-qtop 17458  df-top 22740  df-topon 22757  df-cn 23075
This theorem is referenced by:  hmeoqtop  23623
  Copyright terms: Public domain W3C validator