MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopomap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopomap 23621
Description: If 𝐹 is a surjective continuous open map, then it is a quotient map. (An open map is a function that maps open sets to open sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
qtopomap.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
qtopomap.6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
qtopomap.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
qtopomap (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ

Proof of Theorem qtopomap
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 qtopomap.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 qtopomap.6 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
4 qtopss 23618 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran 𝐹 = π‘Œ) β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
51, 2, 3, 4syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
6 cntop1 23143 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 toptopon2 22819 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
97, 8sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
10 cnf2 23152 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
119, 2, 1, 10syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
1211ffnd 6723 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
13 df-fo 6554 . . . . . 6 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ↔ (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 = π‘Œ))
1412, 3, 13sylanbrc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
15 elqtop3 23606 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
169, 14, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
17 foimacnv 6856 . . . . . . . 8 ((𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
1814, 17sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
1918adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
20 imaeq2 6059 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
2120eleq1d 2814 . . . . . . 7 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ 𝐾))
22 qtopomap.7 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
2322ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
25 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
2621, 24, 25rspcdva 3610 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ 𝐾)
2719, 26eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
2827ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
2916, 28sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
3029ssrdv 3986 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) βŠ† 𝐾)
315, 30eqssd 3997 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908  β—‘ccnv 5677  ran crn 5679   β€œ cima 5681   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€“ontoβ†’wfo 6546  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   qTop cqtop 17484  Topctop 22794  TopOnctopon 22811   Cn ccn 23127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8846  df-qtop 17488  df-top 22795  df-topon 22812  df-cn 23130
This theorem is referenced by:  hmeoqtop  23678
  Copyright terms: Public domain W3C validator