MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopomap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopomap 23092
Description: If 𝐹 is a surjective continuous open map, then it is a quotient map. (An open map is a function that maps open sets to open sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
qtopomap.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
qtopomap.6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
qtopomap.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
qtopomap (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ

Proof of Theorem qtopomap
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 qtopomap.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 qtopomap.6 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
4 qtopss 23089 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran 𝐹 = π‘Œ) β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† (𝐽 qTop 𝐹))
6 cntop1 22614 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 toptopon2 22290 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
97, 8sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
10 cnf2 22623 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
119, 2, 1, 10syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
1211ffnd 6673 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
13 df-fo 6506 . . . . . 6 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ↔ (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 = π‘Œ))
1412, 3, 13sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
15 elqtop3 23077 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
169, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
17 foimacnv 6805 . . . . . . . 8 ((𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
1814, 17sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
1918adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) = 𝑦)
20 imaeq2 6013 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ 𝑦) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
2120eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = (◑𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ 𝐾))
22 qtopomap.7 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
2322ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
25 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
2621, 24, 25rspcdva 3584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ 𝐾)
2719, 26eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾)
2827ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
2916, 28sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐾))
3029ssrdv 3954 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) βŠ† 𝐾)
315, 30eqssd 3965 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   qTop cqtop 17393  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-qtop 17397  df-top 22266  df-topon 22283  df-cn 22601
This theorem is referenced by:  hmeoqtop  23149
  Copyright terms: Public domain W3C validator