MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homaf 17986
Description: Functionality of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homarcl.h 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
homafval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
homafval.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Assertion
Ref Expression
homaf (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ’« ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))

Proof of Theorem homaf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homarcl.h . . 3 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
2 homafval.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
3 homafval.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4 eqid 2730 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
51, 2, 3, 4homafval 17985 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↦ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
6 snssi 4812 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
76adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
8 ssv 4007 . . . 4 ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† V
9 xpss12 5692 . . . 4 (({π‘₯} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† V) β†’ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) βŠ† ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
107, 8, 9sylancl 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) βŠ† ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
11 vsnex 5430 . . . . 5 {π‘₯} ∈ V
12 fvex 6905 . . . . 5 ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ V
1311, 12xpex 7744 . . . 4 ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ V
1413elpw 4607 . . 3 (({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ 𝒫 ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V) ↔ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) βŠ† ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
1510, 14sylibr 233 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ 𝒫 ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
165, 15fmpt3d 7118 1 (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ’« ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Basecbs 17150  Hom chom 17214  Catccat 17614  Homachoma 17979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-homa 17982
This theorem is referenced by:  homarcl2  17991  homarel  17992  arwhoma  18001
  Copyright terms: Public domain W3C validator