MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homaf 17842
Description: Functionality of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homarcl.h 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
homafval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
homafval.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Assertion
Ref Expression
homaf (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ’« ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))

Proof of Theorem homaf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homarcl.h . . 3 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
2 homafval.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
3 homafval.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4 eqid 2736 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
51, 2, 3, 4homafval 17841 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↦ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
6 snssi 4755 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
76adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
8 ssv 3956 . . . 4 ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† V
9 xpss12 5635 . . . 4 (({π‘₯} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† V) β†’ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) βŠ† ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
107, 8, 9sylancl 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) βŠ† ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
11 vsnex 5374 . . . . 5 {π‘₯} ∈ V
12 fvex 6838 . . . . 5 ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ V
1311, 12xpex 7665 . . . 4 ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ V
1413elpw 4551 . . 3 (({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ 𝒫 ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V) ↔ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) βŠ† ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
1510, 14sylibr 233 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((Hom β€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ 𝒫 ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
165, 15fmpt3d 7046 1 (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ’« ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   βŠ† wss 3898  π’« cpw 4547  {csn 4573   Γ— cxp 5618  βŸΆwf 6475  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  Hom chom 17070  Catccat 17470  Homachoma 17835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-homa 17838
This theorem is referenced by:  homarcl2  17847  homarel  17848  arwhoma  17857
  Copyright terms: Public domain W3C validator