MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarel 17990
Description: An arrow is an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
homarel Rel (π‘‹π»π‘Œ)

Proof of Theorem homarel
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpss 5683 . . . 4 (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V) βŠ† (V Γ— V)
2 homahom.h . . . . . . 7 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
3 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
42homarcl 17982 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
52, 3, 4homaf 17984 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐻:((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))βŸΆπ’« (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
62, 3homarcl2 17989 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
76simpld 494 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
86simprd 495 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
95, 7, 8fovcdmd 7573 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (π‘‹π»π‘Œ) ∈ 𝒫 (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
10 elelpwi 4605 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ (π‘‹π»π‘Œ) ∈ 𝒫 (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V)) β†’ 𝑓 ∈ (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
119, 10mpdan 684 . . . 4 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
121, 11sselid 3973 . . 3 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (V Γ— V))
1312ssriv 3979 . 2 (π‘‹π»π‘Œ) βŠ† (V Γ— V)
14 df-rel 5674 . 2 (Rel (π‘‹π»π‘Œ) ↔ (π‘‹π»π‘Œ) βŠ† (V Γ— V))
1513, 14mpbir 230 1 Rel (π‘‹π»π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595   Γ— cxp 5665  Rel wrel 5672  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  Homachoma 17977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-homa 17980
This theorem is referenced by:  homahom  17993  homadm  17994  homacd  17995  homadmcd  17996
  Copyright terms: Public domain W3C validator