Theorem homarel 18118

Description: An arrow is an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
homahom.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
homarel	⊢ Rel (𝑋𝐻𝑌)

Proof of Theorem homarel

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpss 5682	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) × V) ⊆ (V × V)
2		homahom.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4	2	homarcl 18110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
5	2, 3, 4	homaf 18112	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻:((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))⟶𝒫 (((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) × V))
6	2, 3	homarcl2 18117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
7	6	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
8	6	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
9	5, 7, 8	fovcdmd 7595	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) ∈ 𝒫 (((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) × V))
10		elelpwi 4577	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑋𝐻𝑌) ∈ 𝒫 (((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) × V)) → 𝑓 ∈ (((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) × V))
11	9, 10	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝑓 ∈ (((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) × V))
12	1, 11	sselid 3938	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝑓 ∈ (V × V))
13	12	ssriv 3944	. 2 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ⊆ (V × V)
14		df-rel 5673	. 2 ⊢ (Rel (𝑋𝐻𝑌) ↔ (𝑋𝐻𝑌) ⊆ (V × V))
15	13, 14	mpbir 234	1 ⊢ Rel (𝑋𝐻𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567   × cxp 5664  Rel wrel 5671  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Hom_achoma 18105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-homa 18108

This theorem is used by:  homahom  18121  homadm  18122  homacd  18123  homadmcd  18124