MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarel 18018
Description: An arrow is an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
homarel Rel (π‘‹π»π‘Œ)

Proof of Theorem homarel
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpss 5688 . . . 4 (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V) βŠ† (V Γ— V)
2 homahom.h . . . . . . 7 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
42homarcl 18010 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
52, 3, 4homaf 18012 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐻:((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))βŸΆπ’« (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
62, 3homarcl2 18017 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
76simpld 494 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
86simprd 495 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
95, 7, 8fovcdmd 7587 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (π‘‹π»π‘Œ) ∈ 𝒫 (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
10 elelpwi 4608 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ (π‘‹π»π‘Œ) ∈ 𝒫 (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V)) β†’ 𝑓 ∈ (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
119, 10mpdan 686 . . . 4 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
121, 11sselid 3976 . . 3 (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (V Γ— V))
1312ssriv 3982 . 2 (π‘‹π»π‘Œ) βŠ† (V Γ— V)
14 df-rel 5679 . 2 (Rel (π‘‹π»π‘Œ) ↔ (π‘‹π»π‘Œ) βŠ† (V Γ— V))
1513, 14mpbir 230 1 Rel (π‘‹π»π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945  π’« cpw 4598   Γ— cxp 5670  Rel wrel 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  Homachoma 18005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-homa 18008
This theorem is referenced by:  homahom  18021  homadm  18022  homacd  18023  homadmcd  18024
  Copyright terms: Public domain W3C validator