Theorem hvmulcli 31104

Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvmulcli	⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		hvmulcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvmulcl 31103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  ℂcc 11031   ℋchba 31009   ·_ℎ csm 31011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-hfvmul 31095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-ov 7365

This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  31149  hvnegdii  31152  hvsubeq0i  31153  hvsubcan2i  31154  hvaddcani  31155  hvsubaddi  31156  normlem0  31199  normlem5  31204  normlem9  31208  bcseqi  31210  norm-iii-i  31229  norm3difi  31237  normpar2i  31246  polid2i  31247  polidi  31248  h1de2i  31643  pjsubii  31768  eigposi  31926  lnop0  32056  lnopunilem1  32100  lnophmlem2  32107  lnfn0i  32132