Theorem hvmulcli 31059

Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvmulcli	⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		hvmulcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvmulcl 31058	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7438  ℂcc 11160   ℋchba 30964   ·_ℎ csm 30966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441  ax-hfvmul 31050

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-fv 6577  df-ov 7441

This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  31104  hvnegdii  31107  hvsubeq0i  31108  hvsubcan2i  31109  hvaddcani  31110  hvsubaddi  31111  normlem0  31154  normlem5  31159  normlem9  31163  bcseqi  31165  norm-iii-i  31184  norm3difi  31192  normpar2i  31201  polid2i  31202  polidi  31203  h1de2i  31598  pjsubii  31723  eigposi  31881  lnop0  32011  lnopunilem1  32055  lnophmlem2  32062  lnfn0i  32087