HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcli 30761
Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmulcl.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
hvmulcl.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hvmulcli (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹

Proof of Theorem hvmulcli
StepHypRef Expression
1 hvmulcl.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 hvmulcl.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„‹
3 hvmulcl 30760 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
41, 2, 3mp2an 689 1 (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105   โ„‹chba 30666   ยทโ„Ž csm 30668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-hfvmul 30752
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405
This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  30806  hvnegdii  30809  hvsubeq0i  30810  hvsubcan2i  30811  hvaddcani  30812  hvsubaddi  30813  normlem0  30856  normlem5  30861  normlem9  30865  bcseqi  30867  norm-iii-i  30886  norm3difi  30894  normpar2i  30903  polid2i  30904  polidi  30905  h1de2i  31300  pjsubii  31425  eigposi  31583  lnop0  31713  lnopunilem1  31757  lnophmlem2  31764  lnfn0i  31789
  Copyright terms: Public domain W3C validator