Theorem hvmulcli 31643

Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvmulcli	⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		hvmulcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvmulcl 31642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222   ℋchba 31548   ·_ℎ csm 31550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-hfvmul 31634

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443

This theorem is used by:  hvsubsub4i  31688  hvnegdii  31691  hvsubeq0i  31692  hvsubcan2i  31693  hvaddcani  31694  hvsubaddi  31695  normlem0  31738  normlem5  31743  normlem9  31747  bcseqi  31749  norm-iii-i  31768  norm3difi  31776  normpar2i  31785  polid2i  31786  polidi  31787  h1de2i  32182  pjsubii  32307  eigposi  32465  lnop0  32595  lnopunilem1  32639  lnophmlem2  32646  lnfn0i  32671