Theorem hvmulcli 31048

Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvmulcli	⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		hvmulcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvmulcl 31047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7450  ℂcc 11184   ℋchba 30953   ·_ℎ csm 30955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-hfvmul 31039

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-fv 6583  df-ov 7453

This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  31093  hvnegdii  31096  hvsubeq0i  31097  hvsubcan2i  31098  hvaddcani  31099  hvsubaddi  31100  normlem0  31143  normlem5  31148  normlem9  31152  bcseqi  31154  norm-iii-i  31173  norm3difi  31181  normpar2i  31190  polid2i  31191  polidi  31192  h1de2i  31587  pjsubii  31712  eigposi  31870  lnop0  32000  lnopunilem1  32044  lnophmlem2  32051  lnfn0i  32076