Theorem hvmulcli 31479

Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvmulcli	⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		hvmulcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvmulcl 31478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11123   ℋchba 31384   ·_ℎ csm 31386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-hfvmul 31470

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419

This theorem is used by:  hvsubsub4i  31524  hvnegdii  31527  hvsubeq0i  31528  hvsubcan2i  31529  hvaddcani  31530  hvsubaddi  31531  normlem0  31574  normlem5  31579  normlem9  31583  bcseqi  31585  norm-iii-i  31604  norm3difi  31612  normpar2i  31621  polid2i  31622  polidi  31623  h1de2i  32018  pjsubii  32143  eigposi  32301  lnop0  32431  lnopunilem1  32475  lnophmlem2  32482  lnfn0i  32507