HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcli 30823
Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmulcl.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
hvmulcl.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hvmulcli (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹

Proof of Theorem hvmulcli
StepHypRef Expression
1 hvmulcl.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 hvmulcl.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„‹
3 hvmulcl 30822 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
41, 2, 3mp2an 691 1 (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136   โ„‹chba 30728   ยทโ„Ž csm 30730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-hfvmul 30814
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423
This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  30868  hvnegdii  30871  hvsubeq0i  30872  hvsubcan2i  30873  hvaddcani  30874  hvsubaddi  30875  normlem0  30918  normlem5  30923  normlem9  30927  bcseqi  30929  norm-iii-i  30948  norm3difi  30956  normpar2i  30965  polid2i  30966  polidi  30967  h1de2i  31362  pjsubii  31487  eigposi  31645  lnop0  31775  lnopunilem1  31819  lnophmlem2  31826  lnfn0i  31851
  Copyright terms: Public domain W3C validator