HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcli 30817
Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmulcl.1 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcl.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvmulcli (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvmulcli
StepHypRef Expression
1 hvmulcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 hvmulcl.2 . 2 𝐵 ∈ ℋ
3 hvmulcl 30816 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
41, 2, 3mp2an 691 1 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099  (class class class)co 7414  cc 11130  chba 30722   · csm 30724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-hfvmul 30808
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417
This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  30862  hvnegdii  30865  hvsubeq0i  30866  hvsubcan2i  30867  hvaddcani  30868  hvsubaddi  30869  normlem0  30912  normlem5  30917  normlem9  30921  bcseqi  30923  norm-iii-i  30942  norm3difi  30950  normpar2i  30959  polid2i  30960  polidi  30961  h1de2i  31356  pjsubii  31481  eigposi  31639  lnop0  31769  lnopunilem1  31813  lnophmlem2  31820  lnfn0i  31845
  Copyright terms: Public domain W3C validator