HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigposi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigposi 31865
Description: A sufficient condition (first conjunct pair, that holds when 𝑇 is a positive operator) for an eigenvalue 𝐵 (second conjunct pair) to be nonnegative. Remark (ii) in [Hughes] p. 137. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigpos.1 𝐴 ∈ ℋ
eigpos.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
eigposi ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem eigposi
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)))
21eleq1d 2824 . . . . . . 7 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℝ))
3 eigpos.1 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℋ
4 eigpos.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℂ
54, 3hvmulcli 31043 . . . . . . . . 9 (𝐵 · 𝐴) ∈ ℋ
6 hire 31123 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐴) ·ih 𝐴)))
73, 5, 6mp2an 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐴) ·ih 𝐴))
8 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) ·ih 𝐴))
91, 8eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐴) ·ih 𝐴)))
107, 9bitr4id 290 . . . . . . 7 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴)))
112, 10bitrd 279 . . . . . 6 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴)))
1211adantr 480 . . . . 5 (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴)))
133, 4eigrei 31863 . . . . 5 (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
1412, 13bitrd 279 . . . 4 (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
1514biimpac 478 . . 3 (((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615adantlr 715 . 2 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 hiidrcl 31124 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
183, 17mp1i 13 . . . 4 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
19 ax-his4 31114 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
203, 19mpan 690 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
2120ad2antll 729 . . . 4 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
2218, 21elrpd 13072 . . 3 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ+)
23 simplr 769 . . . 4 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)))
241ad2antrl 728 . . . . 5 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)))
25 his5 31115 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
264, 3, 3, 25mp3an 1460 . . . . . 6 (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
2716cjred 15262 . . . . . . 7 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (∗‘𝐵) = 𝐵)
2827oveq1d 7446 . . . . . 6 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
2926, 28eqtrid 2787 . . . . 5 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
3024, 29eqtrd 2775 . . . 4 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
3123, 30breqtrd 5174 . . 3 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 0 ≤ (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
3216, 22, 31prodge0ld 13141 . 2 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 0 ≤ 𝐵)
3316, 32jca 511 1 ((((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇𝐴))) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  ccj 15132  chba 30948   · csm 30950   ·ih csp 30951  0c0v 30953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hfvmul 31034  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator