Theorem eigposi 32261

Description: A sufficient condition (first conjunct pair, that holds when 𝑇 is a positive operator) for an eigenvalue 𝐵 (second conjunct pair) to be nonnegative. Remark (ii) in [Hughes] p. 137. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
eigpos.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
eigpos.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
eigposi	⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem eigposi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
2	1	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) ∈ ℝ))
3		eigpos.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		eigpos.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5	4, 3	hvmulcli 31439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
6		hire 31519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴)))
7	3, 5, 6	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴))
8		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴))
9	1, 8	eqeq12d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ·ih 𝐴)))
10	7, 9	bitr4id 293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴)))
11	2, 10	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴)))
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴)))
13	3, 4	eigrei 32259	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
14	12, 13	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
15	14	biimpac 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantlr 728	. 2 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		hiidrcl 31520	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
18	3, 17	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
19		ax-his4 31510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
20	3, 19	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
21	20	ad2antll 742	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
22	18, 21	elrpd 13075	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ+)
23		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)))
24	1	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
25		his5 31511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
26	4, 3, 3, 25	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
27	16	cjred 15303	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (∗‘𝐵) = 𝐵)
28	27	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
29	26, 28	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (𝐴 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
30	24, 29	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
31	23, 30	breqtrd 5139	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → 0 ≤ (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
32	16, 22, 31	prodge0ld 13144	. 2 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → 0 ≤ 𝐵)
33	16, 32	jca 521	1 ⊢ ((((𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐴))) ∧ ((𝑇‘𝐴) = (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117   · cmul 11122   < clt 11260   ≤ cle 11261  ∗ccj 15173   ℋchba 31344   ·_ℎ csm 31346   ·_ih csp 31347  0_ℎc0v 31349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-hfvmul 31430  ax-hfi 31504  ax-his1 31507  ax-his3 31509  ax-his4 31510

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-rp 13035  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178

This theorem is used by: (None)