HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigposi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigposi 31120
Description: A sufficient condition (first conjunct pair, that holds when ๐‘‡ is a positive operator) for an eigenvalue ๐ต (second conjunct pair) to be nonnegative. Remark (ii) in [Hughes] p. 137. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigpos.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
eigpos.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
eigposi ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))

Proof of Theorem eigposi
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . . . 8 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)))
21eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„))
3 eigpos.1 . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„‹
4 eigpos.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„‚
54, 3hvmulcli 30298 . . . . . . . . 9 (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
6 hire 30378 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ต ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ด)))
73, 5, 6mp2an 691 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ต ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ด))
8 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) = ((๐ต ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ด))
91, 8eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ต ยทโ„Ž ๐ด) ยทih ๐ด)))
107, 9bitr4id 290 . . . . . . 7 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด)))
112, 10bitrd 279 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด)))
1211adantr 482 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด)))
133, 4eigrei 31118 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ด) โ†” ๐ต โˆˆ โ„))
1412, 13bitrd 279 . . . 4 (((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” ๐ต โˆˆ โ„))
1514biimpac 480 . . 3 (((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1615adantlr 714 . 2 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
17 hiidrcl 30379 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„)
183, 17mp1i 13 . . . 4 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„)
19 ax-his4 30369 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (๐ด ยทih ๐ด))
203, 19mpan 689 . . . . 5 (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (๐ด ยทih ๐ด))
2120ad2antll 728 . . . 4 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ 0 < (๐ด ยทih ๐ด))
2218, 21elrpd 13013 . . 3 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„+)
23 simplr 768 . . . 4 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)))
241ad2antrl 727 . . . . 5 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)))
25 his5 30370 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
264, 3, 3, 25mp3an 1462 . . . . . 6 (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด))
2716cjred 15173 . . . . . . 7 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต)
2827oveq1d 7424 . . . . . 6 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
2926, 28eqtrid 2785 . . . . 5 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (๐ด ยทih (๐ต ยทโ„Ž ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
3024, 29eqtrd 2773 . . . 4 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
3123, 30breqtrd 5175 . . 3 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยท (๐ด ยทih ๐ด)))
3216, 22, 31prodge0ld 13082 . 2 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3316, 32jca 513 1 ((((๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐ต ยทโ„Ž ๐ด) โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  โˆ—ccj 15043   โ„‹chba 30203   ยทโ„Ž csm 30205   ยทih csp 30206  0โ„Žc0v 30208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hfvmul 30289  ax-hfi 30363  ax-his1 30366  ax-his3 30368  ax-his4 30369
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator