HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem5 28522
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem4.7 𝑅 ∈ ℝ
normlem4.8 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem5 0 ≤ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)

Proof of Theorem normlem5
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . 4 𝐹 ∈ ℋ
2 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
3 normlem4.7 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
43recni 10378 . . . . . 6 𝑅 ∈ ℂ
52, 4mulcli 10371 . . . . 5 (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
6 normlem1.3 . . . . 5 𝐺 ∈ ℋ
75, 6hvmulcli 28422 . . . 4 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺) ∈ ℋ
81, 7hvsubcli 28429 . . 3 (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ∈ ℋ
9 hiidge0 28506 . . 3 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))))
108, 9ax-mp 5 . 2 0 ≤ ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)))
11 normlem2.4 . . 3 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
12 normlem3.5 . . 3 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
13 normlem3.6 . . 3 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
14 normlem4.8 . . 3 (abs‘𝑆) = 1
152, 1, 6, 11, 12, 13, 3, 14normlem4 28521 . 2 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)
1610, 15breqtri 4900 1 0 ≤ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  cle 10399  -cneg 10593  2c2 11413  cexp 13161  ccj 14220  abscabs 14358  chba 28327   · csm 28329   ·ih csp 28330   cmv 28333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-hfvadd 28408  ax-hv0cl 28411  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulass 28415  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-hvsub 28379
This theorem is referenced by:  normlem6  28523
  Copyright terms: Public domain W3C validator