HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem5 30056
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem4.7 𝑅 ∈ ℝ
normlem4.8 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem5 0 ≤ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)

Proof of Theorem normlem5
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . 4 𝐹 ∈ ℋ
2 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
3 normlem4.7 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
43recni 11169 . . . . . 6 𝑅 ∈ ℂ
52, 4mulcli 11162 . . . . 5 (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
6 normlem1.3 . . . . 5 𝐺 ∈ ℋ
75, 6hvmulcli 29956 . . . 4 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺) ∈ ℋ
81, 7hvsubcli 29963 . . 3 (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ∈ ℋ
9 hiidge0 30040 . . 3 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))))
108, 9ax-mp 5 . 2 0 ≤ ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)))
11 normlem2.4 . . 3 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
12 normlem3.5 . . 3 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
13 normlem3.6 . . 3 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
14 normlem4.8 . . 3 (abs‘𝑆) = 1
152, 1, 6, 11, 12, 13, 3, 14normlem4 30055 . 2 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)
1610, 15breqtri 5130 1 0 ≤ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  -cneg 11386  2c2 12208  cexp 13967  ccj 14981  abscabs 15119  chba 29861   · csm 29863   ·ih csp 29864   cmv 29867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-hfvadd 29942  ax-hv0cl 29945  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulass 29949  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-hvsub 29913
This theorem is referenced by:  normlem6  30057
  Copyright terms: Public domain W3C validator