Theorem hvsubf 29405

Description: Mapping domain and codomain of vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubf	⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Proof of Theorem hvsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12115	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 29403	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 29402	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
6	5	rgen2 3188	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ
7		df-hvsub 29361	. . 3 ⊢ −ℎ = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
8	7	fmpo 7928	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ ↔ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ)
9	6, 8	mpbi 229	1 ⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059   × cxp 5589  ⟶wf 6443  (class class class)co 7295  ℂcc 10897  1c1 10900  -cneg 11234   ℋchba 29309   +_ℎ cva 29310   ·_ℎ csm 29311   −_ℎ cmv 29315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-hfvadd 29390  ax-hfvmul 29395

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-ltxr 11042  df-sub 11235  df-neg 11236  df-hvsub 29361

This theorem is referenced by: (None)