Theorem hvsubf 29606

Description: Mapping domain and codomain of vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubf	⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Proof of Theorem hvsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12180	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 29604	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 29603	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
6	5	rgen2 3190	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ
7		df-hvsub 29562	. . 3 ⊢ −ℎ = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
8	7	fmpo 7968	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ ↔ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ)
9	6, 8	mpbi 229	1 ⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   × cxp 5612  ⟶wf 6469  (class class class)co 7329  ℂcc 10962  1c1 10965  -cneg 11299   ℋchba 29510   +_ℎ cva 29511   ·_ℎ csm 29512   −_ℎ cmv 29516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-hfvadd 29591  ax-hfvmul 29596

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-ltxr 11107  df-sub 11300  df-neg 11301  df-hvsub 29562

This theorem is referenced by: (None)