Theorem hvsubf 30268

Description: Mapping domain and codomain of vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubf	⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Proof of Theorem hvsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12326	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 30266	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 30265	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
6	5	rgen2 3198	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ
7		df-hvsub 30224	. . 3 ⊢ −ℎ = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
8	7	fmpo 8054	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ ↔ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ)
9	6, 8	mpbi 229	1 ⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   × cxp 5675  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111  -cneg 11445   ℋchba 30172   +_ℎ cva 30173   ·_ℎ csm 30174   −_ℎ cmv 30178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-hfvadd 30253  ax-hfvmul 30258

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-hvsub 30224

This theorem is referenced by: (None)