Theorem hvsubf 31039

Description: Mapping domain and codomain of vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubf	⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Proof of Theorem hvsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12128	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 31037	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 31036	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ)
6	5	rgen2 3174	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ
7		df-hvsub 30995	. . 3 ⊢ −ℎ = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
8	7	fmpo 8010	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)) ∈ ℋ ↔ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ)
9	6, 8	mpbi 230	1 ⊢ −ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   × cxp 5620  ⟶wf 6486  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  1c1 11025  -cneg 11363   ℋchba 30943   +_ℎ cva 30944   ·_ℎ csm 30945   −_ℎ cmv 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-hfvadd 31024  ax-hfvmul 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365  df-hvsub 30995

This theorem is referenced by: (None)