HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcani Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcani 28827
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvaddcani ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem hvaddcani
StepHypRef Expression
1 oveq1 7140 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)))
2 hvnegdi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
3 hvnegdi.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
4 neg1cn 11730 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
54, 2hvmulcli 28776 . . . . 5 (-1 · 𝐴) ∈ ℋ
62, 3, 5hvadd32i 28816 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐵)
72hvnegidi 28792 . . . . 5 (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = 0
87oveq1i 7143 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐵) = (0 + 𝐵)
93hvaddid2i 28791 . . . 4 (0 + 𝐵) = 𝐵
106, 8, 93eqtri 2847 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = 𝐵
11 hvaddcan.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℋ
122, 11, 5hvadd32i 28816 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐶)
137oveq1i 7143 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐶) = (0 + 𝐶)
1411hvaddid2i 28791 . . . 4 (0 + 𝐶) = 𝐶
1512, 13, 143eqtri 2847 . . 3 ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)) = 𝐶
161, 10, 153eqtr3g 2878 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
17 oveq2 7141 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
1816, 17impbii 211 1 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208   = wceq 1537  wcel 2114  (class class class)co 7133  1c1 10516  -cneg 10849  chba 28681   + cva 28682   · csm 28683  0c0v 28686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-sub 10850  df-neg 10851  df-hvsub 28733
This theorem is referenced by:  hvsubaddi  28828  hvaddcan  28832
  Copyright terms: Public domain W3C validator