Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcani Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvaddcani ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

StepHypRef Expression
1 oveq1 6911 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)))
2 hvnegdi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
3 hvnegdi.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
4 neg1cn 11471 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
54, 2hvmulcli 28425 . . . . 5 (-1 · 𝐴) ∈ ℋ
62, 3, 5hvadd32i 28465 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐵)
72hvnegidi 28441 . . . . 5 (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = 0
87oveq1i 6914 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐵) = (0 + 𝐵)
93hvaddid2i 28440 . . . 4 (0 + 𝐵) = 𝐵
106, 8, 93eqtri 2852 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐴)) = 𝐵
11 hvaddcan.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℋ
122, 11, 5hvadd32i 28465 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐶)
137oveq1i 6914 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐴)) + 𝐶) = (0 + 𝐶)
1411hvaddid2i 28440 . . . 4 (0 + 𝐶) = 𝐶
1512, 13, 143eqtri 2852 . . 3 ((𝐴 + 𝐶) + (-1 · 𝐴)) = 𝐶
161, 10, 153eqtr3g 2883 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
17 oveq2 6912 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
1816, 17impbii 201 1 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6904  1c1 10252  -cneg 10585   ℋchba 28330   +ℎ cva 28331   ·ℎ csm 28332  0ℎc0v 28335 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-hvcom 28412  ax-hvass 28413  ax-hv0cl 28414  ax-hvaddid 28415  ax-hfvmul 28416  ax-hvmulid 28417  ax-hvdistr2 28420  ax-hvmul0 28421 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-ltxr 10395  df-sub 10586  df-neg 10587  df-hvsub 28382 This theorem is referenced by:  hvsubaddi  28477  hvaddcan  28481
 Copyright terms: Public domain W3C validator