Theorem hvaddcani 31044

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvaddcani	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem hvaddcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7376	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
2		hvnegdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		hvnegdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4		neg1cn 12147	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	4, 2	hvmulcli 30993	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
6	2, 3, 5	hvadd32i 31033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐵)
7	2	hvnegidi 31009	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = 0ℎ
8	7	oveq1i 7379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵)
9	3	hvaddlidi 31008	. . . 4 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐵) = 𝐵
10	6, 8, 9	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = 𝐵
11		hvaddcan.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
12	2, 11, 5	hvadd32i 31033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐶)
13	7	oveq1i 7379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐶) = (0ℎ +ℎ 𝐶)
14	11	hvaddlidi 31008	. . . 4 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐶) = 𝐶
15	12, 13, 14	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = 𝐶
16	1, 10, 15	3eqtr3g 2787	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
17		oveq2 7377	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶))
18	16, 17	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045  -cneg 11382   ℋchba 30898   +_ℎ cva 30899   ·_ℎ csm 30900  0_ℎc0v 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-hvcom 30980  ax-hvass 30981  ax-hv0cl 30982  ax-hvaddid 30983  ax-hfvmul 30984  ax-hvmulid 30985  ax-hvdistr2 30988  ax-hvmul0 30989

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-hvsub 30950

This theorem is referenced by:  hvsubaddi  31045  hvaddcan  31049