HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcani Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcani 30888
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
hvnegdi.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
hvaddcan.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hvaddcani ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ)

Proof of Theorem hvaddcani
StepHypRef Expression
1 oveq1 7427 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ด +โ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
2 hvnegdi.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
3 hvnegdi.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
4 neg1cn 12357 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
54, 2hvmulcli 30837 . . . . 5 (-1 ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
62, 3, 5hvadd32i 30877 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ต)
72hvnegidi 30853 . . . . 5 (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = 0โ„Ž
87oveq1i 7430 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ต) = (0โ„Ž +โ„Ž ๐ต)
93hvaddlidi 30852 . . . 4 (0โ„Ž +โ„Ž ๐ต) = ๐ต
106, 8, 93eqtri 2760 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ต
11 hvaddcan.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„‹
122, 11, 5hvadd32i 30877 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ถ)
137oveq1i 7430 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ถ) = (0โ„Ž +โ„Ž ๐ถ)
1411hvaddlidi 30852 . . . 4 (0โ„Ž +โ„Ž ๐ถ) = ๐ถ
1512, 13, 143eqtri 2760 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ถ
161, 10, 153eqtr3g 2791 . 2 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
17 oveq2 7428 . 2 (๐ต = ๐ถ โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ))
1816, 17impbii 208 1 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11140  -cneg 11476   โ„‹chba 30742   +โ„Ž cva 30743   ยทโ„Ž csm 30744  0โ„Žc0v 30747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-hvsub 30794
This theorem is referenced by:  hvsubaddi  30889  hvaddcan  30893
  Copyright terms: Public domain W3C validator