HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcani Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcani 30823
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
hvnegdi.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
hvaddcan.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hvaddcani ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ)

Proof of Theorem hvaddcani
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ด +โ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
2 hvnegdi.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
3 hvnegdi.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
4 neg1cn 12327 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
54, 2hvmulcli 30772 . . . . 5 (-1 ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
62, 3, 5hvadd32i 30812 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ต)
72hvnegidi 30788 . . . . 5 (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = 0โ„Ž
87oveq1i 7414 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ต) = (0โ„Ž +โ„Ž ๐ต)
93hvaddlidi 30787 . . . 4 (0โ„Ž +โ„Ž ๐ต) = ๐ต
106, 8, 93eqtri 2758 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ต
11 hvaddcan.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„‹
122, 11, 5hvadd32i 30812 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ถ)
137oveq1i 7414 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) +โ„Ž ๐ถ) = (0โ„Ž +โ„Ž ๐ถ)
1411hvaddlidi 30787 . . . 4 (0โ„Ž +โ„Ž ๐ถ) = ๐ถ
1512, 13, 143eqtri 2758 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = ๐ถ
161, 10, 153eqtr3g 2789 . 2 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
17 oveq2 7412 . 2 (๐ต = ๐ถ โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ))
1816, 17impbii 208 1 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  1c1 11110  -cneg 11446   โ„‹chba 30677   +โ„Ž cva 30678   ยทโ„Ž csm 30679  0โ„Žc0v 30682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hvcom 30759  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 30729
This theorem is referenced by:  hvsubaddi  30824  hvaddcan  30828
  Copyright terms: Public domain W3C validator