Theorem hvaddcani 31153

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvaddcani	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem hvaddcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
2		hvnegdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		hvnegdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4		neg1cn 12142	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	4, 2	hvmulcli 31102	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
6	2, 3, 5	hvadd32i 31142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐵)
7	2	hvnegidi 31118	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = 0ℎ
8	7	oveq1i 7378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵)
9	3	hvaddlidi 31117	. . . 4 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐵) = 𝐵
10	6, 8, 9	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = 𝐵
11		hvaddcan.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
12	2, 11, 5	hvadd32i 31142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐶)
13	7	oveq1i 7378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) +ℎ 𝐶) = (0ℎ +ℎ 𝐶)
14	11	hvaddlidi 31117	. . . 4 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐶) = 𝐶
15	12, 13, 14	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = 𝐶
16	1, 10, 15	3eqtr3g 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
17		oveq2 7376	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶))
18	16, 17	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039  -cneg 11377   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008   ·_ℎ csm 31009  0_ℎc0v 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-hvsub 31059

This theorem is referenced by:  hvsubaddi  31154  hvaddcan  31158