Theorem icof 41848

Description: The set of left-closed right-open intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
icof	⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*

Proof of Theorem icof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ssrab2 4007	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ⊆ ℝ*
3		xrex 12374	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
4	3	rabex 5199	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ V
5	4	elpw 4501	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ⊆ ℝ*)
6	2, 5	mpbir 234	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
7	1, 6	eqeltrrdi 2899	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*)
8	7	rgen2 3168	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
9		df-ico 12732	. . 3 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10	9	fmpo 7748	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
11	8, 10	mpbi 233	1 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,)cico 12728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-xr 10668  df-ico 12732

This theorem is referenced by:  fvvolicof  42633  volicoff  42637  voliooicof  42638  ovolval5lem2  43292  ovolval5lem3  43293  ovnovollem1  43295  ovnovollem2  43296