Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icof 39988
Description: The set of left-closed right-open intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
icof [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*

Proof of Theorem icof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2766 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ssrab2 3847 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ⊆ ℝ*
3 xrex 12025 . . . . . . 7 * ∈ V
43rabex 4973 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ V
54elpw 4321 . . . . 5 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ⊆ ℝ*)
62, 5mpbir 222 . . . 4 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
71, 6syl6eqelr 2853 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*)
87rgen2a 3124 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
9 df-ico 12383 . . 3 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
109fmpt2 7438 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
118, 10mpbi 221 1 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  wss 3732  𝒫 cpw 4315   class class class wbr 4809   × cxp 5275  wf 6064  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  [,)cico 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-fv 6076  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-xr 10332  df-ico 12383
This theorem is referenced by:  fvvolicof  40777  volicoff  40781  voliooicof  40782  ovolval5lem2  41439  ovolval5lem3  41440  ovnovollem1  41442  ovnovollem2  41443
  Copyright terms: Public domain W3C validator