Theorem icof 45213

Description: The set of left-closed right-open intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
icof	⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*

Proof of Theorem icof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ssrab2 4043	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ⊆ ℝ*
3		xrex 12946	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
4	3	rabex 5294	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ V
5	4	elpw 4567	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ⊆ ℝ*)
6	2, 5	mpbir 231	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
7	1, 6	eqeltrrdi 2837	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*)
8	7	rgen2 3177	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
9		df-ico 13312	. . 3 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10	9	fmpo 8047	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
11	8, 10	mpbi 230	1 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  [,)cico 13308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-xr 11212  df-ico 13312

This theorem is referenced by:  fvvolicof  45989  volicoff  45993  voliooicof  45994  ovolval5lem2  46651  ovolval5lem3  46652  ovnovollem1  46654  ovnovollem2  46655