MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmhm 17961
Description: The identity homomorphism on a monoid. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
idmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
idmhm (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

Proof of Theorem idmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2 f1oi 6640 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
3 f1of 6603 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
42, 3mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
5 idmhm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
75, 6mndcl 17915 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
873expb 1117 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
9 fvresi 6923 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
11 fvresi 6923 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
12 fvresi 6923 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
1311, 12oveqan12d 7164 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1413adantl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1510, 14eqtr4d 2862 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
1615ralrimivva 3186 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
17 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g𝑀)
185, 17mndidcl 17922 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
19 fvresi 6923 . . . 4 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
214, 16, 203jca 1125 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀)))
225, 5, 6, 6, 17, 17ismhm 17954 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))))
231, 1, 21, 22syl21anbrc 1341 1 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133   I cid 5446  cres 5544  wf 6339  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  0gc0g 16709  Mndcmnd 17907   MndHom cmhm 17950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952
This theorem is referenced by:  idrhm  19479
  Copyright terms: Public domain W3C validator