MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmhm 18719
Description: The identity homomorphism on a monoid. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
idmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
idmhm (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

Proof of Theorem idmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2 f1oi 6872 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
3 f1of 6834 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
42, 3mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
5 idmhm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
75, 6mndcl 18669 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
873expb 1118 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
9 fvresi 7174 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
11 fvresi 7174 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
12 fvresi 7174 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
1311, 12oveqan12d 7432 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1413adantl 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1510, 14eqtr4d 2773 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
1615ralrimivva 3198 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
17 eqid 2730 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g𝑀)
185, 17mndidcl 18676 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
19 fvresi 7174 . . . 4 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
214, 16, 203jca 1126 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀)))
225, 5, 6, 6, 17, 17ismhm 18709 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))))
231, 1, 21, 22syl21anbrc 1342 1 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059   I cid 5574  cres 5679  wf 6540  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  0gc0g 17391  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8826  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707
This theorem is referenced by:  idrhm  20383
  Copyright terms: Public domain W3C validator