Theorem idmhm 18904

Description: The identity homomorphism on a monoid. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
idmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
idmhm	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

Proof of Theorem idmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2		f1oi 6857	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
3		f1of 6818	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
4	2, 3	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
5		idmhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
7	5, 6	mndcl 18845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
9		fvresi 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
11		fvresi 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
12		fvresi 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
13	11, 12	oveqan12d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
15	10, 14	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
16	15	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
18	5, 17	mndidcl 18853	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
19		fvresi 7172	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
21	4, 16, 20	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀)))
22	5, 5, 6, 6, 17, 17	ismhm 18894	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))))
23	1, 1, 21, 22	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   I cid 5549   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525  Mndcmnd 18837   MndHom cmhm 18890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892

This theorem is used by:  idrhm  20637