MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhm0 17740
Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhm0.z 0 = (0g𝑆)
mhm0.y 𝑌 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
mhm0 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem mhm0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3 eqid 2778 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2778 . . . 4 (+g𝑇) = (+g𝑇)
5 mhm0.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
6 mhm0.y . . . 4 𝑌 = (0g𝑇)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 17734 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹0 ) = 𝑌)))
87simprbi 492 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹0 ) = 𝑌))
98simp3d 1135 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹0 ) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  +gcplusg 16349  0gc0g 16497  Mndcmnd 17691   MndHom cmhm 17730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-map 8144  df-mhm 17732
This theorem is referenced by:  mhmf1o  17742  resmhm  17756  resmhm2  17757  resmhm2b  17758  mhmco  17759  mhmima  17760  mhmeql  17761  pwsco2mhm  17768  gsumwmhm  17780  mhmmulg  17978  gsumzmhm  18734  rhm1  19130  madetsumid  20683  mdetunilem7  20840  pm2mp  21048  dchrzrh1  25432  dchrmulcl  25437  dchrn0  25438  dchrinvcl  25441  dchrfi  25443  dchrabs  25448  sumdchr2  25458  rpvmasum2  25670
  Copyright terms: Public domain W3C validator