Theorem mhm0 19039

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
mhm0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhm0	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		mhm0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		mhm0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 19030	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)))
8	7	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌))
9	8	simp3d 1162	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660  Mndcmnd 18973   MndHom cmhm 19026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-mhm 19028

This theorem is used by:  mhmf1o  19041  resmhm  19066  resmhm2  19067  resmhm2b  19068  mhmco  19069  mhmima  19071  mhmeql  19072  pwsco2mhm  19079  gsumwmhm  19091  mhmmulg  19375  gsumzmhm  20202  rhm0  20774  rhm1  20775  rhmpreimaidl  21622  mhmcompl  22485  selvvvval  22506  madetsumid  22831  mdetunilem7  22988  pm2mp  23198  dchrzrh1  27628  dchrmulcl  27633  dchrn0  27634  dchrinvcl  27637  dchrfi  27639  dchrabs  27644  sumdchr2  27654  rpvmasum2  27896  fxpsubm  33832