Theorem mhm0 18820

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
mhm0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhm0	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		mhm0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		mhm0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18811	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)))
8	7	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌))
9	8	simp3d 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-mhm 18809

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18822  resmhm  18846  resmhm2  18847  resmhm2b  18848  mhmco  18849  mhmima  18851  mhmeql  18852  pwsco2mhm  18859  gsumwmhm  18871  mhmmulg  19146  gsumzmhm  19970  rhm1  20506  rhmpreimaidl  21305  mhmcompl  22400  madetsumid  22483  mdetunilem7  22640  pm2mp  22847  dchrzrh1  27303  dchrmulcl  27308  dchrn0  27309  dchrinvcl  27312  dchrfi  27314  dchrabs  27319  sumdchr2  27329  rpvmasum2  27571  selvvvval  42572