Theorem mhm0 18676

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
mhm0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhm0	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		mhm0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		mhm0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18669	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)))
8	7	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌))
9	8	simp3d 1144	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-mhm 18667

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18678  resmhm  18697  resmhm2  18698  resmhm2b  18699  mhmco  18700  mhmima  18702  mhmeql  18703  pwsco2mhm  18710  gsumwmhm  18722  mhmmulg  18989  gsumzmhm  19799  rhm1  20259  madetsumid  21954  mdetunilem7  22111  pm2mp  22318  dchrzrh1  26736  dchrmulcl  26741  dchrn0  26742  dchrinvcl  26745  dchrfi  26747  dchrabs  26752  sumdchr2  26762  rpvmasum2  27004  rhmpreimaidl  32525  mhmcompl  41117  selvvvval  41154