Theorem mhm0 18853

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
mhm0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhm0	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		mhm0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		mhm0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18844	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)))
8	7	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌))
9	8	simp3d 1162	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793   MndHom cmhm 18840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8827  df-mhm 18842

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18855  resmhm  18880  resmhm2  18881  resmhm2b  18882  mhmco  18883  mhmima  18885  mhmeql  18886  pwsco2mhm  18893  gsumwmhm  18905  mhmmulg  19182  gsumzmhm  20008  rhm1  20572  rhmpreimaidl  21397  mhmcompl  22253  selvvvval  22274  madetsumid  22599  mdetunilem7  22756  pm2mp  22963  dchrzrh1  27389  dchrmulcl  27394  dchrn0  27395  dchrinvcl  27398  dchrfi  27400  dchrabs  27405  sumdchr2  27415  rpvmasum2  27657  fxpsubm  33473