Theorem mhm0 18811

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
mhm0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhm0	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		mhm0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		mhm0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18802	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)))
8	7	simprbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘ 0 ) = 𝑌))
9	8	simp3d 1156	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18751   MndHom cmhm 18798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-map 8805  df-mhm 18800

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18813  resmhm  18837  resmhm2  18838  resmhm2b  18839  mhmco  18840  mhmima  18842  mhmeql  18843  pwsco2mhm  18850  gsumwmhm  18862  mhmmulg  19140  gsumzmhm  19960  rhm1  20517  rhmpreimaidl  21327  mhmcompl  22154  selvvvval  22175  madetsumid  22501  mdetunilem7  22658  pm2mp  22865  dchrzrh1  27285  dchrmulcl  27290  dchrn0  27291  dchrinvcl  27294  dchrfi  27296  dchrabs  27301  sumdchr2  27311  rpvmasum2  27553  fxpsubm  33313