Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinfssclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinfssclem2 49300
Description: Lemma for iinfssc 49302. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
iinfssc.1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻cat 𝐽)
iinfssc.3 (𝜑𝐾 = (𝑦 𝑥𝐴 dom 𝐻 𝑥𝐴 (𝐻𝑦)))
iinfssclem1.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5 𝑥𝜑
Assertion
Ref Expression
iinfssclem2 (𝜑𝐾 Fn ( 𝑥𝐴 𝑆 × 𝑥𝐴 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iinfssc.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 ovex 7391 . . . . . . 7 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
32rgenw 3055 . . . . . 6 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
4 iinexg 5293 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V) → 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
51, 3, 4sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 𝑥𝐴 𝑆𝑤 𝑥𝐴 𝑆)) → 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
76ralrimivva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 𝑥𝐴 𝑆𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
8 eqid 2736 . . . 4 (𝑧 𝑥𝐴 𝑆, 𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) = (𝑧 𝑥𝐴 𝑆, 𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
98fnmpo 8013 . . 3 (∀𝑧 𝑥𝐴 𝑆𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V → (𝑧 𝑥𝐴 𝑆, 𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn ( 𝑥𝐴 𝑆 × 𝑥𝐴 𝑆))
107, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑧 𝑥𝐴 𝑆, 𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn ( 𝑥𝐴 𝑆 × 𝑥𝐴 𝑆))
11 iinfssc.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻cat 𝐽)
12 iinfssc.3 . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝑦 𝑥𝐴 dom 𝐻 𝑥𝐴 (𝐻𝑦)))
13 iinfssclem1.4 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
14 iinfssclem1.5 . . . 4 𝑥𝜑
151, 11, 12, 13, 14iinfssclem1 49299 . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑧 𝑥𝐴 𝑆, 𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
1615fneq1d 6585 . 2 (𝜑 → (𝐾 Fn ( 𝑥𝐴 𝑆 × 𝑥𝐴 𝑆) ↔ (𝑧 𝑥𝐴 𝑆, 𝑤 𝑥𝐴 𝑆 𝑥𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn ( 𝑥𝐴 𝑆 × 𝑥𝐴 𝑆)))
1710, 16mpbird 257 1 (𝜑𝐾 Fn ( 𝑥𝐴 𝑆 × 𝑥𝐴 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wnf 1784  wcel 2113  wne 2932  wral 3051  Vcvv 3440  c0 4285   ciin 4947   class class class wbr 5098  cmpt 5179   × cxp 5622  dom cdm 5624   Fn wfn 6487  cfv 6492  (class class class)co 7358  cmpo 7360  cat cssc 17731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-ixp 8836  df-ssc 17734
This theorem is referenced by:  iinfssc  49302  iinfsubc  49303
  Copyright terms: Public domain W3C validator