Theorem iinfssclem2 49530

Description: Lemma for iinfssc 49532. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem2	⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		ovex 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
3	2	rgenw 3055	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
4		iinexg 5289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
5	1, 3, 4	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
7	6	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
9	8	fnmpo 8022	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V → (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
11		iinfssc.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
12		iinfssc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
13		iinfssclem1.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
14		iinfssclem1.5	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
15	1, 11, 12, 13, 14	iinfssclem1 49529	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
16	15	fneq1d 6591	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)))
17	10, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3429  ∅c0 4273  ∩ ciin 4934   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  dom cdm 5631   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   ⊆_cat cssc 17774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-ixp 8846  df-ssc 17777

This theorem is referenced by:  iinfssc  49532  iinfsubc  49533