Theorem iinfssclem2 49717

Description: Lemma for iinfssc 49719. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem2	⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
3	2	rgenw 3089	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
4		iinexg 5319	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
5	1, 3, 4	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
6	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
7	6	ralrimivva 3214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
9	8	fnmpo 8065	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V → (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
10	7, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
11		iinfssc.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
12		iinfssc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
13		iinfssclem1.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
14		iinfssclem1.5	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
15	1, 11, 12, 13, 14	iinfssclem1 49716	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
16	15	fneq1d 6629	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)) Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)))
17	10, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ∩ ciin 4961   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  dom cdm 5662   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ⊆_cat cssc 17863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-ixp 8895  df-ssc 17866

This theorem is referenced by:  iinfssc  49719  iinfsubc  49720