Theorem iinfssclem1 49544

Description: Lemma for iinfssc 49547. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐻,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem iinfssclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
2		iinfssclem1.5	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		iinfssc.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
4		iinfssclem1.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5	3, 4	sscfn1 17775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
6	5	fndmd 6590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
7	2, 6	iineq2d 4945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆))
8		iinfssc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
9		iinxp 49321	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
11	7, 10	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
12	11	mpteq1d 5162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
13	1, 12	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
14		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
15		df-ov 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
16	14, 15	eqtr4di 2792	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
18	17	iineq2dv 4947	. . 3 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
19	18	mpompt 7470	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
20	13, 19	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  ⟨cop 4561  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ⊆_cat cssc 17765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-ixp 8836  df-ssc 17768

This theorem is referenced by:  iinfssclem2  49545  iinfssclem3  49546  iinfssc  49547  infsubc2  49551  iinfconstbas  49556