Theorem iinfssclem1 49086

Description: Lemma for iinfssc 49089. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐻,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem iinfssclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
2		iinfssclem1.5	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		iinfssc.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
4		iinfssclem1.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5	3, 4	sscfn1 17719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
6	5	fndmd 6581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
7	2, 6	iineq2d 4960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆))
8		iinfssc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
9		iinxp 48862	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
11	7, 10	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
12	11	mpteq1d 5176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
13	1, 12	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
14		fveq2 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
15		df-ov 7344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
16	14, 15	eqtr4di 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
18	17	iineq2dv 4962	. . 3 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
19	18	mpompt 7455	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
20	13, 19	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4278  ⟨cop 4577  ∩ ciin 4937   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609  dom cdm 5611  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343   ⊆_cat cssc 17709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-ixp 8817  df-ssc 17712

This theorem is referenced by:  iinfssclem2  49087  iinfssclem3  49088  iinfssc  49089  infsubc2  49093  iinfconstbas  49098