Theorem iinfssclem1 49413

Description: Lemma for iinfssc 49416. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐻,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem iinfssclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
2		iinfssclem1.5	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		iinfssc.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
4		iinfssclem1.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5	3, 4	sscfn1 17753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
6	5	fndmd 6605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
7	2, 6	iineq2d 4972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆))
8		iinfssc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
9		iinxp 49190	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
11	7, 10	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
12	11	mpteq1d 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
13	1, 12	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
14		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
15		df-ov 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
16	14, 15	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
18	17	iineq2dv 4974	. . 3 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
19	18	mpompt 7482	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
20	13, 19	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  ⟨cop 4588  ∩ ciin 4949   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ⊆_cat cssc 17743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-ixp 8848  df-ssc 17746

This theorem is referenced by:  iinfssclem2  49414  iinfssclem3  49415  iinfssc  49416  infsubc2  49420  iinfconstbas  49425