Theorem iinfssclem1 49016

Description: Lemma for iinfssc 49019. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐻,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem iinfssclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
2		iinfssclem1.5	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		iinfssc.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
4		iinfssclem1.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5	3, 4	sscfn1 17755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
6	5	fndmd 6605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom 𝐻 = (𝑆 × 𝑆))
7	2, 6	iineq2d 4975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆))
8		iinfssc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
9		iinxp 48792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑆 × 𝑆) = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
11	7, 10	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 = (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆))
12	11	mpteq1d 5192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
13	1, 12	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
14		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
15		df-ov 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) = (𝐻‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
16	14, 15	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑦) = (𝑧𝐻𝑤))
18	17	iineq2dv 4977	. . 3 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
19	18	mpompt 7483	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆) ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)) = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
20	13, 19	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292  ⟨cop 4591  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371   ⊆_cat cssc 17745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-ixp 8848  df-ssc 17748

This theorem is referenced by:  iinfssclem2  49017  iinfssclem3  49018  iinfssc  49019  infsubc2  49023  iinfconstbas  49028