Theorem iinfssclem3 50309

Description: Lemma for iinfssc 50310. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinfssclem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
iinfssclem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
4		iinfssclem1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5		iinfssclem1.5	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6	1, 2, 3, 4, 5	iinfssclem1 50307	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
7		nfv 1948	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)
8	5, 7	nfan 1933	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌))
9		simplrl 789	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑋)
10		simplrr 790	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 = 𝑌)
11	9, 10	oveq12d 7445	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) = (𝑋𝐻𝑌))
12	8, 11	iineq2d 4977	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))
13		iinfssclem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
14		iinfssclem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
15		ovex 7460	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
16	15	rgenw 3083	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
17		iinexg 5312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
19	6, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7579	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3453  ∅c0 4280  ∩ ciin 4954   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5654  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ⊆_cat cssc 17994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-ixp 8937  df-ssc 17997

This theorem is used by:  iinfsubc  50311