Theorem iinfssclem3 49854

Description: Lemma for iinfssc 49855. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinfssclem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
iinfssclem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
4		iinfssclem1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5		iinfssclem1.5	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6	1, 2, 3, 4, 5	iinfssclem1 49852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
7		nfv 1944	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)
8	5, 7	nfan 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌))
9		simplrl 788	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑋)
10		simplrr 789	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 = 𝑌)
11	9, 10	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) = (𝑋𝐻𝑌))
12	8, 11	iineq2d 4980	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))
13		iinfssclem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
14		iinfssclem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
15		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
16	15	rgenw 3083	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
17		iinexg 5318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
19	6, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7562	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ∩ ciin 4957   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ⊆_cat cssc 17859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-ixp 8892  df-ssc 17862

This theorem is referenced by:  iinfsubc  49856