Theorem iinfssclem3 50501

Description: Lemma for iinfssc 50502. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinfssclem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
iinfssclem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
4		iinfssclem1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5		iinfssclem1.5	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6	1, 2, 3, 4, 5	iinfssclem1 50499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
7		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)
8	5, 7	nfan 1934	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌))
9		simplrl 789	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑋)
10		simplrr 790	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 = 𝑌)
11	9, 10	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) = (𝑋𝐻𝑌))
12	8, 11	iineq2d 4980	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))
13		iinfssclem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
14		iinfssclem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
15		ovex 7484	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
16	15	rgenw 3084	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
17		iinexg 5316	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
19	6, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7604	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ∩ ciin 4957   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ⊆_cat cssc 18032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-ixp 8964  df-ssc 18035

This theorem is used by:  iinfsubc  50503