Theorem iinfssclem3 49546

Description: Lemma for iinfssc 49547. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinfssclem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
iinfssclem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
4		iinfssclem1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5		iinfssclem1.5	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6	1, 2, 3, 4, 5	iinfssclem1 49544	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
7		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)
8	5, 7	nfan 1906	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌))
9		simplrl 782	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑋)
10		simplrr 783	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 = 𝑌)
11	9, 10	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) = (𝑋𝐻𝑌))
12	8, 11	iineq2d 4945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))
13		iinfssclem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
14		iinfssclem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
15		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
16	15	rgenw 3057	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
17		iinexg 5276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 592	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
19	6, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7508	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  Vcvv 3431  ∅c0 4261  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ⊆_cat cssc 17765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-ixp 8836  df-ssc 17768

This theorem is referenced by:  iinfsubc  49548