Theorem iinfssclem3 49415

Description: Lemma for iinfssc 49416. (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
iinfssclem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
iinfssclem1.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinfssclem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
iinfssclem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iinfssclem3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem iinfssclem3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		iinfssc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
4		iinfssclem1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = dom dom 𝐻)
5		iinfssclem1.5	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6	1, 2, 3, 4, 5	iinfssclem1 49413	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
7		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)
8	5, 7	nfan 1901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌))
9		simplrl 777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑋)
10		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 = 𝑌)
11	9, 10	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) = (𝑋𝐻𝑌))
12	8, 11	iineq2d 4972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑤 = 𝑌)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))
13		iinfssclem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
14		iinfssclem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑆)
15		ovex 7401	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
16	15	rgenw 3056	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
17		iinexg 5295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌) ∈ V)
19	6, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3442  ∅c0 4287  ∩ ciin 4949   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ⊆_cat cssc 17743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-ixp 8848  df-ssc 17746

This theorem is referenced by:  iinfsubc  49417