Theorem iinfssc 49019

Description: Indexed intersection of subcategories is a subcategory (the category-agnostic version). (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
iinfssc	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆cat 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfssc

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐻 = dom dom 𝐻)
4	2, 3	sscfn1 17755	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 × dom dom 𝐻))
5		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	2, 5	sscfn2 17756	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	ssc1 17759	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
8	7	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
9		r19.2z 4454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
10	1, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
11		iinss 5015	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
13		iinfssc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
14		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
15	1, 2, 13, 3, 14	iinfssclem1 49016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
16		ovex 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
17	16	rgenw 3048	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
18		iinexg 5298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
19	1, 17, 18	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
21	15, 20	ovmpt4d 48826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝑧𝐾𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
22	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → 𝐴 ≠ ∅)
23		nfii1 4989	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
24	23	nfcri 2883	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
25	23	nfcri 2883	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
26	24, 25	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
27	14, 26	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻))
28	4	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 × dom dom 𝐻))
29	2	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
30		iinss2 5016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐻)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐻)
32		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
33	31, 32	sseldd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ dom dom 𝐻)
34		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
35	31, 34	sseldd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ dom dom 𝐻)
36	28, 29, 33, 35	ssc2 17760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
37	27, 36	ralrimia 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
38	22, 37	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤)))
39		r19.2z 4454	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
40		iinss 5015	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
42	21, 41	eqsstrd 3978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
43	42	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻(𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
44	1, 2, 13, 3, 14	iinfssclem2 49017	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻))
45		n0 4312	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
46	1, 45	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
47	46, 6	exlimddv 1935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
48		sscrel 17751	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⊆cat
49	48	brrelex2i 5688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⊆cat 𝐽 → 𝐽 ∈ V)
50	2, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
51	46, 50	exlimddv 1935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
52	51	dmexd 7859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 ∈ V)
53	52	dmexd 7859	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ∈ V)
54	44, 47, 53	isssc 17758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆cat 𝐽 ↔ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽 ∧ ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻(𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))))
55	12, 43, 54	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆cat 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  dom cdm 5631   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ⊆_cat cssc 17745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-ixp 8848  df-ssc 17748

This theorem is referenced by:  iinfsubc  49020