Theorem iinfssc 49034

Description: Indexed intersection of subcategories is a subcategory (the category-agnostic version). (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
iinfssc	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆cat 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfssc

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐻 = dom dom 𝐻)
4	2, 3	sscfn1 17785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 × dom dom 𝐻))
5		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	2, 5	sscfn2 17786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	ssc1 17789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
8	7	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
9		r19.2z 4460	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
10	1, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
11		iinss 5022	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
13		iinfssc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
14		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
15	1, 2, 13, 3, 14	iinfssclem1 49031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
16		ovex 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
17	16	rgenw 3049	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
18		iinexg 5305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
19	1, 17, 18	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
21	15, 20	ovmpt4d 48841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝑧𝐾𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
22	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → 𝐴 ≠ ∅)
23		nfii1 4995	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
24	23	nfcri 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
25	23	nfcri 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
26	24, 25	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
27	14, 26	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻))
28	4	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 × dom dom 𝐻))
29	2	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
30		iinss2 5023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐻)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐻)
32		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
33	31, 32	sseldd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ dom dom 𝐻)
34		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
35	31, 34	sseldd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ dom dom 𝐻)
36	28, 29, 33, 35	ssc2 17790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
37	27, 36	ralrimia 3237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
38	22, 37	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤)))
39		r19.2z 4460	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
40		iinss 5022	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
42	21, 41	eqsstrd 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
43	42	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻(𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
44	1, 2, 13, 3, 14	iinfssclem2 49032	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻))
45		n0 4318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
46	1, 45	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
47	46, 6	exlimddv 1935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
48		sscrel 17781	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⊆cat
49	48	brrelex2i 5697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⊆cat 𝐽 → 𝐽 ∈ V)
50	2, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
51	46, 50	exlimddv 1935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
52	51	dmexd 7881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 ∈ V)
53	52	dmexd 7881	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ∈ V)
54	44, 47, 53	isssc 17788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆cat 𝐽 ↔ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽 ∧ ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻(𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))))
55	12, 43, 54	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆cat 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  ∩ ciin 4958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190   × cxp 5638  dom cdm 5640   Fn wfn 6508  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ⊆_cat cssc 17775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-ixp 8873  df-ssc 17778

This theorem is referenced by:  iinfsubc  49035