Theorem iinfssc 50134

Description: Indexed intersection of subcategories is a subcategory (the category-agnostic version). (Contributed by Zhi Wang, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinfssc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinfssc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
iinfssc.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
iinfssc	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆cat 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐻   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem iinfssc

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinfssc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		iinfssc.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
3		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐻 = dom dom 𝐻)
4	2, 3	sscfn1 17985	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 × dom dom 𝐻))
5		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	2, 5	sscfn2 17986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	ssc1 17989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
8	7	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
9		r19.2z 4455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
10	1, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
11		iinss 5015	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽)
13		iinfssc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑦)))
14		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
15	1, 2, 13, 3, 14	iinfssclem1 50131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻, 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ↦ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤)))
16		ovex 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
17	16	rgenw 3081	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V
18		iinexg 5309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
19	1, 17, 18	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ∈ V)
21	15, 20	ovmpt4d 49944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝑧𝐾𝑤) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤))
22	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → 𝐴 ≠ ∅)
23		nfii1 4987	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
24	23	nfcri 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
25	23	nfcri 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻
26	24, 25	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
27	14, 26	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻))
28	4	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 × dom dom 𝐻))
29	2	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ⊆cat 𝐽)
30		iinss2 5016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐻)
31	30	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐻)
32		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
33	31, 32	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ dom dom 𝐻)
34		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)
35	31, 34	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ dom dom 𝐻)
36	28, 29, 33, 35	ssc2 17990	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
37	27, 36	ralrimia 3262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
38	22, 37	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤)))
39		r19.2z 4455	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
40		iinss 5015	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
41	38, 39, 40	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧𝐻𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
42	21, 41	eqsstrd 3965	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻)) → (𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
43	42	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻(𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))
44	1, 2, 13, 3, 14	iinfssclem2 50132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 × ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻))
45		n0 4300	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
46	1, 45	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
47	46, 6	exlimddv 1968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
48		sscrel 17981	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⊆cat
49	48	brrelex2i 5708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ⊆cat 𝐽 → 𝐽 ∈ V)
50	2, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
51	46, 50	exlimddv 1968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
52	51	dmexd 7913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 ∈ V)
53	52	dmexd 7913	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ∈ V)
54	44, 47, 53	isssc 17988	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆cat 𝐽 ↔ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻 ⊆ dom dom 𝐽 ∧ ∀𝑧 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻∀𝑤 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom dom 𝐻(𝑧𝐾𝑤) ⊆ (𝑧𝐽𝑤))))
55	12, 43, 54	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆cat 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ⊆_cat cssc 17975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-ixp 8919  df-ssc 17978

This theorem is used by:  iinfsubc  50135