MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fuciso 17864
Description: A natural transformation is an isomorphism of functors iff all its components are isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fuciso.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuciso.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
fuciso.n 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fuciso.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
fuciso.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
fuciso.i 𝐼 = (Iso‘𝑄)
fuciso.j 𝐽 = (Iso‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
fuciso (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺) ↔ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑄

Proof of Theorem fuciso
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fuciso.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
21fucbas 17848 . . . . 5 (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
3 fuciso.n . . . . . 6 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
41, 3fuchom 17849 . . . . 5 𝑁 = (Hom ‘𝑄)
5 fuciso.i . . . . 5 𝐼 = (Iso‘𝑄)
6 fuciso.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7 funcrcl 17749 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
98simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
108simprd 496 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
111, 9, 10fuccat 17859 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ Cat)
12 fuciso.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
132, 4, 5, 11, 6, 12isohom 17659 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐼𝐺) ⊆ (𝐹𝑁𝐺))
1413sselda 3944 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺))
15 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16 eqid 2736 . . . . 5 (Inv‘𝐷) = (Inv‘𝐷)
1710ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
18 fuciso.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐶)
19 relfunc 17748 . . . . . . . . 9 Rel (𝐶 Func 𝐷)
20 1st2ndbr 7974 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd𝐹))
2119, 6, 20sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1st𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd𝐹))
2218, 15, 21funcf1 17752 . . . . . . 7 (𝜑 → (1st𝐹):𝐵⟶(Base‘𝐷))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → (1st𝐹):𝐵⟶(Base‘𝐷))
2423ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) ∧ 𝑥𝐵) → ((1st𝐹)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐷))
25 1st2ndbr 7974 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st𝐺)(𝐶 Func 𝐷)(2nd𝐺))
2619, 12, 25sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1st𝐺)(𝐶 Func 𝐷)(2nd𝐺))
2718, 15, 26funcf1 17752 . . . . . . 7 (𝜑 → (1st𝐺):𝐵⟶(Base‘𝐷))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → (1st𝐺):𝐵⟶(Base‘𝐷))
2928ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) ∧ 𝑥𝐵) → ((1st𝐺)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐷))
30 fuciso.j . . . . 5 𝐽 = (Iso‘𝐷)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Inv‘𝑄) = (Inv‘𝑄)
322, 31, 11, 6, 12, 5isoval 17648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐼𝐺) = dom (𝐹(Inv‘𝑄)𝐺))
3332eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺) ↔ 𝐴 ∈ dom (𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)))
342, 31, 11, 6, 12invfun 17647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Fun (𝐹(Inv‘𝑄)𝐺))
35 funfvbrb 7001 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝐹(Inv‘𝑄)𝐺) → (𝐴 ∈ dom (𝐹(Inv‘𝑄)𝐺) ↔ 𝐴(𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ dom (𝐹(Inv‘𝑄)𝐺) ↔ 𝐴(𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)))
3733, 36bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺) ↔ 𝐴(𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)))
3837biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → 𝐴(𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴))
391, 18, 3, 6, 12, 31, 16fucinv 17862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴) ∈ (𝐺𝑁𝐹) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥)(((1st𝐹)‘𝑥)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑥))(((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)‘𝑥))))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → (𝐴(𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴) ∈ (𝐺𝑁𝐹) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥)(((1st𝐹)‘𝑥)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑥))(((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)‘𝑥))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴) ∈ (𝐺𝑁𝐹) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥)(((1st𝐹)‘𝑥)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑥))(((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)‘𝑥)))
4241simp3d 1144 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥)(((1st𝐹)‘𝑥)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑥))(((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)‘𝑥))
4342r19.21bi 3234 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴𝑥)(((1st𝐹)‘𝑥)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑥))(((𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)‘𝐴)‘𝑥))
4415, 16, 17, 24, 29, 30, 43inviso1 17649 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))
4544ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))
4614, 45jca 512 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺)) → (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥))))
4711adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → 𝑄 ∈ Cat)
486adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4912adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
50 simprl 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺))
5110ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
5222adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → (1st𝐹):𝐵⟶(Base‘𝐷))
5352ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) ∧ 𝑦𝐵) → ((1st𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐷))
5427adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → (1st𝐺):𝐵⟶(Base‘𝐷))
5554ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) ∧ 𝑦𝐵) → ((1st𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐷))
56 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))
57 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
58 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((1st𝐹)‘𝑥) = ((1st𝐹)‘𝑦))
59 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((1st𝐺)‘𝑥) = ((1st𝐺)‘𝑦))
6058, 59oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)) = (((1st𝐹)‘𝑦)𝐽((1st𝐺)‘𝑦)))
6157, 60eleq12d 2832 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝐴𝑦) ∈ (((1st𝐹)‘𝑦)𝐽((1st𝐺)‘𝑦))))
6261rspccva 3580 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑦) ∈ (((1st𝐹)‘𝑦)𝐽((1st𝐺)‘𝑦)))
6356, 62sylan 580 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑦) ∈ (((1st𝐹)‘𝑦)𝐽((1st𝐺)‘𝑦)))
6415, 30, 16, 51, 53, 55, 63invisoinvr 17674 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑦)(((1st𝐹)‘𝑦)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑦))((((1st𝐹)‘𝑦)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑦))‘(𝐴𝑦)))
651, 18, 3, 48, 49, 31, 16, 50, 64invfuc 17863 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → 𝐴(𝐹(Inv‘𝑄)𝐺)(𝑦𝐵 ↦ ((((1st𝐹)‘𝑦)(Inv‘𝐷)((1st𝐺)‘𝑦))‘(𝐴𝑦))))
662, 31, 47, 48, 49, 5, 65inviso1 17649 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))) → 𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺))
6746, 66impbida 799 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹𝐼𝐺) ↔ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ (((1st𝐹)‘𝑥)𝐽((1st𝐺)‘𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  Rel wrel 5638  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  Basecbs 17083  Catccat 17544  Invcinv 17628  Isociso 17629   Func cfunc 17740   Nat cnat 17828   FuncCat cfuc 17829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-hom 17157  df-cco 17158  df-cat 17548  df-cid 17549  df-sect 17630  df-inv 17631  df-iso 17632  df-func 17744  df-nat 17830  df-fuc 17831
This theorem is referenced by:  yonffthlem  18171
  Copyright terms: Public domain W3C validator