Theorem funciso 18058

Description: The image of an isomorphism under a functor is an isomorphism. Proposition 3.21 of [Adamek] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funciso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funciso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐷)
funciso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐸)
funciso.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
funciso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
funciso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
funciso.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
funciso	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑀) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem funciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (Inv‘𝐸) = (Inv‘𝐸)
3		funciso.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
4		df-br 5103	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5	3, 4	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
6		funcrcl 18047	. . . 4 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
8	7	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
9		funciso.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
10	9, 1, 3	funcf1 18050	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐸))
11		funciso.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	ffvelcdmd 7090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐸))
13		funciso.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	10, 13	ffvelcdmd 7090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝐸))
15		funciso.t	. 2 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐸)
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Inv‘𝐷) = (Inv‘𝐷)
17		funciso.s	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐷)
18	7	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
19		funciso.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	9, 17, 16, 18, 11, 13, 19	invisoinvr 17975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀(𝑋(Inv‘𝐷)𝑌)((𝑋(Inv‘𝐷)𝑌)‘𝑀))
21	9, 16, 2, 3, 11, 13, 20	funcinv 18057	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑀)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐸)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘((𝑋(Inv‘𝐷)𝑌)‘𝑀)))
22	1, 2, 8, 12, 14, 15, 21	inviso1 17950	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑀) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  Catccat 17847  Invcinv 17929  Isociso 17930   Func cfunc 18038

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-map 8856  df-ixp 8933  df-cat 17851  df-cid 17852  df-sect 17931  df-inv 17932  df-iso 17933  df-func 18042

This theorem is used by:  ffthiso  18115