MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfth2 17909
Description: Equivalent condition for a faithful functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfth.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
isfth2 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem isfth2
StepHypRef Expression
1 isfth.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
21isfth 17908 . 2 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
3 isfth.h . . . . . . 7 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4 isfth.j . . . . . . 7 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
7 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
81, 3, 4, 5, 6, 7funcf2 17859 . . . . . 6 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
9 df-f1 6556 . . . . . . 7 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ Fun (𝑥𝐺𝑦)))
109baib 534 . . . . . 6 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ Fun (𝑥𝐺𝑦)))
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ Fun (𝑥𝐺𝑦)))
1211ralbidva 3171 . . . 4 ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
1312ralbidva 3171 . . 3 (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
1413pm5.32i 573 . 2 ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
152, 14bitr4i 277 1 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057   class class class wbr 5150  ccnv 5679  Fun wfun 6545  wf 6547  1-1wf1 6548  cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  Hom chom 17249   Func cfunc 17845   Faith cfth 17897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-map 8851  df-ixp 8921  df-func 17849  df-fth 17899
This theorem is referenced by:  isffth2  17910  fthf1  17911  cofth  17929  fthestrcsetc  18146  fthsetcestrc  18161  thincfth  48105
  Copyright terms: Public domain W3C validator