Theorem isfth2 17245

Description: Equivalent condition for a faithful functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
isfth2	⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem isfth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2	1	isfth 17244	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
3		isfth.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4		isfth.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	1, 3, 4, 5, 6, 7	funcf2 17198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))
9		df-f1 6341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
10	9	baib 540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
12	11	ralbidva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
13	12	ralbidva 3126	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
14	13	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
15	2, 14	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   class class class wbr 5033  ^◡ccnv 5524  Fun wfun 6330  ⟶wf 6332  –1-1→wf1 6333  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16542  Hom chom 16635   Func cfunc 17184   Faith cfth 17233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-map 8419  df-ixp 8481  df-func 17188  df-fth 17235

This theorem is referenced by:  isffth2  17246  fthf1  17247  cofth  17265  fthestrcsetc  17467  fthsetcestrc  17482