Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfth2 17245
 Description: Equivalent condition for a faithful functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfth.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
isfth2 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem isfth2
StepHypRef Expression
1 isfth.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
21isfth 17244 . 2 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
3 isfth.h . . . . . . 7 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4 isfth.j . . . . . . 7 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
5 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
6 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
7 simpr 489 . . . . . . 7 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
81, 3, 4, 5, 6, 7funcf2 17198 . . . . . 6 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)))
9 df-f1 6341 . . . . . . 7 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ∧ Fun (𝑥𝐺𝑦)))
109baib 540 . . . . . 6 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)⟶((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ Fun (𝑥𝐺𝑦)))
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ Fun (𝑥𝐺𝑦)))
1211ralbidva 3126 . . . 4 ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝑥𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
1312ralbidva 3126 . . 3 (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
1413pm5.32i 579 . 2 ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
152, 14bitr4i 281 1 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹𝑥)𝐽(𝐹𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   class class class wbr 5033  ◡ccnv 5524  Fun wfun 6330  ⟶wf 6332  –1-1→wf1 6333  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16542  Hom chom 16635   Func cfunc 17184   Faith cfth 17233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-map 8419  df-ixp 8481  df-func 17188  df-fth 17235 This theorem is referenced by:  isffth2  17246  fthf1  17247  cofth  17265  fthestrcsetc  17467  fthsetcestrc  17482
 Copyright terms: Public domain W3C validator