MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islp3 21171
Description: The predicate "𝑃 is a limit point of 𝑆 " in terms of open sets. see islp2 21170, elcls 21098, islp 21165. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
islp3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem islp3
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21islp 21165 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
323adant3 1126 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
4 simp2 1131 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → 𝑆𝑋)
54ssdifssd 3899 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋)
61elcls 21098 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
75, 6syld3an2 1518 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
83, 7bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   cuni 4574  cfv 6031  Topctop 20918  clsccl 21043  limPtclp 21159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-top 20919  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-lp 21161
This theorem is referenced by:  bwth  21434  poimirlem30  33772
  Copyright terms: Public domain W3C validator