MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islp3 21760
Description: The predicate "𝑃 is a limit point of 𝑆 " in terms of open sets. see islp2 21759, elcls 21687, islp 21754. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
islp3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem islp3
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21islp 21754 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
323adant3 1129 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
4 simp2 1134 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → 𝑆𝑋)
54ssdifssd 4105 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋)
61elcls 21687 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
75, 6syld3an2 1408 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
83, 7bitrd 282 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  c0 4276  {csn 4550   cuni 4824  cfv 6345  Topctop 21507  clsccl 21632  limPtclp 21748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-top 21508  df-cld 21633  df-ntr 21634  df-cls 21635  df-lp 21750
This theorem is referenced by:  bwth  22024  nlpineqsn  34797  poimirlem30  35059
  Copyright terms: Public domain W3C validator