MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismet 24242
Description: Express the predicate "𝐷 is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables 𝑑 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3490 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ V)
2 xpeq12 5703 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = 𝑋 ∧ 𝑑 = 𝑋) β†’ (𝑑 Γ— 𝑑) = (𝑋 Γ— 𝑋))
32anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑋 β†’ (𝑑 Γ— 𝑑) = (𝑋 Γ— 𝑋))
43oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑋 β†’ (ℝ ↑m (𝑑 Γ— 𝑑)) = (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)))
5 raleq 3319 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))))
65anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑋 β†’ ((((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))))
76raleqbi1dv 3330 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))))
87raleqbi1dv 3330 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))))
94, 8rabeqbidv 3446 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑋 β†’ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑑 Γ— 𝑑)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))} = {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
10 df-met 21273 . . . . . 6 Met = (𝑑 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑑 Γ— 𝑑)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
11 ovex 7453 . . . . . . 7 (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ V
1211rabex 5334 . . . . . 6 {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))} ∈ V
139, 10, 12fvmpt 7005 . . . . 5 (𝑋 ∈ V β†’ (Metβ€˜π‘‹) = {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
141, 13syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (Metβ€˜π‘‹) = {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
1514eleq2d 2815 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ 𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))}))
16 oveq 7426 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (π‘₯𝑑𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1716eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = 0))
1817bibi1d 343 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦)))
19 oveq 7426 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑧𝑑π‘₯) = (𝑧𝐷π‘₯))
20 oveq 7426 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑧𝑑𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
2119, 20oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
2216, 21breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
2322ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
2418, 23anbi12d 631 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
25242ralbidv 3215 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
2625elrab 3682 . . 3 (𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))} ↔ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
2715, 26bitrdi 287 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
28 reex 11230 . . . 4 ℝ ∈ V
29 sqxpexg 7757 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
30 elmapg 8858 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V) β†’ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
3128, 29, 30sylancr 586 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
3231anbi1d 630 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
3327, 32bitrd 279 1 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  β„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   ≀ cle 11280  Metcmet 21265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-met 21273
This theorem is referenced by:  ismeti  24244  metflem  24247  ismet2  24252  dscmet  24494  nrmmetd  24496  rrxmet  25349  metf1o  37228  rrnmet  37302
  Copyright terms: Public domain W3C validator