MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismet 24173
Description: Express the predicate "𝐷 is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables 𝑑 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3485 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ V)
2 xpeq12 5692 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = 𝑋 ∧ 𝑑 = 𝑋) β†’ (𝑑 Γ— 𝑑) = (𝑋 Γ— 𝑋))
32anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑋 β†’ (𝑑 Γ— 𝑑) = (𝑋 Γ— 𝑋))
43oveq2d 7418 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑋 β†’ (ℝ ↑m (𝑑 Γ— 𝑑)) = (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)))
5 raleq 3314 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))))
65anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑋 β†’ ((((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))))
76raleqbi1dv 3325 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))))
87raleqbi1dv 3325 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))))
94, 8rabeqbidv 3441 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑋 β†’ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑑 Γ— 𝑑)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))} = {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
10 df-met 21228 . . . . . 6 Met = (𝑑 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑑 Γ— 𝑑)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
11 ovex 7435 . . . . . . 7 (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ V
1211rabex 5323 . . . . . 6 {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))} ∈ V
139, 10, 12fvmpt 6989 . . . . 5 (𝑋 ∈ V β†’ (Metβ€˜π‘‹) = {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
141, 13syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (Metβ€˜π‘‹) = {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))})
1514eleq2d 2811 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ 𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))}))
16 oveq 7408 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (π‘₯𝑑𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1716eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = 0))
1817bibi1d 343 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦)))
19 oveq 7408 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑧𝑑π‘₯) = (𝑧𝐷π‘₯))
20 oveq 7408 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑧𝑑𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
2119, 20oveq12d 7420 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
2216, 21breq12d 5152 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
2322ralbidv 3169 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
2418, 23anbi12d 630 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
25242ralbidv 3210 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
2625elrab 3676 . . 3 (𝐷 ∈ {𝑑 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) + (𝑧𝑑𝑦)))} ↔ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
2715, 26bitrdi 287 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
28 reex 11198 . . . 4 ℝ ∈ V
29 sqxpexg 7736 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
30 elmapg 8830 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V) β†’ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
3128, 29, 30sylancr 586 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
3231anbi1d 629 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((𝐷 ∈ (ℝ ↑m (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
3327, 32bitrd 279 1 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  β„cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   ≀ cle 11248  Metcmet 21220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-met 21228
This theorem is referenced by:  ismeti  24175  metflem  24178  ismet2  24183  dscmet  24425  nrmmetd  24427  rrxmet  25280  metf1o  37127  rrnmet  37201
  Copyright terms: Public domain W3C validator