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Theorem rrnmet 37836
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmet (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5 elmapi 8889 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
76ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
8 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
98, 3eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10 elmapi 8889 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 11691 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
1413resqcld 14165 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
151, 14fsumrecl 15770 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1613sqge0d 14177 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
171, 14, 16fsumge0 15831 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
1815, 17resqrtcld 15456 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
1918ralrimivva 3202 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
2120fmpo 8093 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2219, 21sylib 218 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
233rrnval 37834 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
2423feq1d 6720 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2522, 24mpbird 257 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26 sqrt00 15302 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2715, 17, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
281, 14, 16fsum00 15834 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2927, 28bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3013recnd 11289 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
31 sqeq0 14160 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
337recnd 11289 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3412recnd 11289 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34subeq0ad 11630 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3632, 35bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3736ralbidva 3176 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3829, 37bitrd 279 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
393rrnmval 37835 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
40393expb 1121 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
4140eqeq1d 2739 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0))
426ffnd 6737 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
4311ffnd 6737 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
44 eqfnfv 7051 . . . . . 6 ((𝑥 Fn 𝐼𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4542, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4638, 41, 453bitr4d 311 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
47 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
487adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
5049, 3eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51 elmapi 8889 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5352ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℝ)
5448, 53resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
5512adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
5653, 55resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
5747, 54, 56trirn 25434 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
5833adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
5953recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
6034adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
6158, 59, 60npncand 11644 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))) = ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)))
6261oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6362sumeq2dv 15738 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6463fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
65 sqsubswap 14157 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6658, 59, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6766sumeq2dv 15738 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6867fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
6968oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7057, 64, 693brtr3d 5174 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7140adantr 480 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
723rrnmval 37835 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
73723adant3r 1182 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
743rrnmval 37835 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
75743adant3l 1181 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
7673, 75oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
77763expa 1119 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7877an32s 652 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7970, 71, 783brtr4d 5175 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8079ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8146, 80jca 511 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
8281ralrimivva 3202 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
83 ovex 7464 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
843, 83eqeltri 2837 . . 3 𝑋 ∈ V
85 ismet 24333 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))))
8684, 85ax-mp 5 . 2 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))))
8725, 82, 86sylanbrc 583 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  2c2 12321  cexp 14102  csqrt 15272  Σcsu 15722  Metcmet 21350  ncrrn 37832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-met 21358  df-rrn 37833
This theorem is referenced by:  rrncmslem  37839  rrncms  37840  rrnequiv  37842  rrntotbnd  37843  rrnheibor  37844  ismrer1  37845  reheibor  37846
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