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Theorem rrnmet 37816
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmet (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5 elmapi 8888 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
76ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
8 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
98, 3eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10 elmapi 8888 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 11689 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
1413resqcld 14162 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
151, 14fsumrecl 15767 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1613sqge0d 14174 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
171, 14, 16fsumge0 15828 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
1815, 17resqrtcld 15453 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
1918ralrimivva 3200 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
2120fmpo 8092 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2219, 21sylib 218 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
233rrnval 37814 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
2423feq1d 6721 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2522, 24mpbird 257 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26 sqrt00 15299 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2715, 17, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
281, 14, 16fsum00 15831 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2927, 28bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3013recnd 11287 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
31 sqeq0 14157 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
337recnd 11287 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3412recnd 11287 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34subeq0ad 11628 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3632, 35bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3736ralbidva 3174 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3829, 37bitrd 279 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
393rrnmval 37815 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
40393expb 1119 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
4140eqeq1d 2737 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0))
426ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
4311ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
44 eqfnfv 7051 . . . . . 6 ((𝑥 Fn 𝐼𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4542, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4638, 41, 453bitr4d 311 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
47 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
487adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
5049, 3eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51 elmapi 8888 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5352ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℝ)
5448, 53resubcld 11689 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
5512adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
5653, 55resubcld 11689 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
5747, 54, 56trirn 25448 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
5833adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
5953recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
6034adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
6158, 59, 60npncand 11642 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))) = ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)))
6261oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6362sumeq2dv 15735 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6463fveq2d 6911 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
65 sqsubswap 14154 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6658, 59, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6766sumeq2dv 15735 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6867fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
6968oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7057, 64, 693brtr3d 5179 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7140adantr 480 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
723rrnmval 37815 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
73723adant3r 1180 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
743rrnmval 37815 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
75743adant3l 1179 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
7673, 75oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
77763expa 1117 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7877an32s 652 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7970, 71, 783brtr4d 5180 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8079ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8146, 80jca 511 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
8281ralrimivva 3200 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
83 ovex 7464 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
843, 83eqeltri 2835 . . 3 𝑋 ∈ V
85 ismet 24349 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))))
8684, 85ax-mp 5 . 2 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))))
8725, 82, 86sylanbrc 583 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  cexp 14099  csqrt 15269  Σcsu 15719  Metcmet 21368  ncrrn 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-met 21376  df-rrn 37813
This theorem is referenced by:  rrncmslem  37819  rrncms  37820  rrnequiv  37822  rrntotbnd  37823  rrnheibor  37824  ismrer1  37825  reheibor  37826
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