Theorem rrnmet 38080

Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		rrnval.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	2, 3	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
8		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
9	8, 3	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10		elmapi 8798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
15	1, 14	fsumrecl 15669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 14072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
17	1, 14, 16	fsumge0 15730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
18	15, 17	resqrtcld 15353	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
19	18	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
21	20	fmpo 8022	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
22	19, 21	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	3	rrnval 38078	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
24	23	feq1d 6652	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
25	22, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26		sqrt00 15198	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
27	15, 17, 26	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
28	1, 14, 16	fsum00 15733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
29	27, 28	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
30	13	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		sqeq0 14055	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
33	7	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
34	12	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33, 34	subeq0ad 11514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
36	32, 35	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
37	36	ralbidva 3159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
38	29, 37	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
39	3	rrnmval 38079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
40	39	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
41	40	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0))
42	6	ffnd 6671	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
43	11	ffnd 6671	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
44		eqfnfv 6985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
45	42, 43, 44	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
46	38, 41, 45	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
47		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
48	7	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
50	49, 3	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51		elmapi 8798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
53	52	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℝ)
54	48, 53	resubcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) ∈ ℝ)
55	12	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
56	53, 55	resubcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
57	47, 54, 56	trirn 25368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
58	33	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
59	53	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ)
60	34	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	npncand 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))) = ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))
62	61	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
63	62	sumeq2dv 15637	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
64	63	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
65		sqsubswap 14052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
66	58, 59, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
67	66	sumeq2dv 15637	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
68	67	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
69	68	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
70	57, 64, 69	3brtr3d 5131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
71	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
72	3	rrnmval 38079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
73	72	3adant3r 1183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
74	3	rrnmval 38079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
75	74	3adant3l 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
76	73, 75	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
77	76	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
78	77	an32s 653	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
79	70, 71, 78	3brtr4d 5132	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
80	79	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
81	46, 80	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
82	81	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
83		ovex 7401	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
84	3, 83	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
85		ismet 24279	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))))
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))))
87	25, 82, 86	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   × cxp 5630   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   ≤ cle 11179   − cmin 11376  2c2 12212  ↑cexp 13996  √csqrt 15168  Σcsu 15621  Metcmet 21307  ℝⁿcrrn 38076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-met 21315  df-rrn 38077

This theorem is referenced by:  rrncmslem  38083  rrncms  38084  rrnequiv  38086  rrntotbnd  38087  rrnheibor  38088  ismrer1  38089  reheibor  38090