Theorem rrnmet 34549

Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simprl 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		rrnval.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
4	2, 3	syl6eleq 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5		elmapi 8230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
7	6	ffvelrnda 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
8		simprr 760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
9	8, 3	syl6eleq 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10		elmapi 8230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
12	11	ffvelrnda 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 10871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 13429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
15	1, 14	fsumrecl 14954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 13430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
17	1, 14, 16	fsumge0 15013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
18	15, 17	resqrtcld 14641	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
19	18	ralrimivva 3141	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
21	20	fmpo 7576	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
22	19, 21	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	3	rrnval 34547	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
24	23	feq1d 6331	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
25	22, 24	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26		sqrt00 14487	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
27	15, 17, 26	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
28	1, 14, 16	fsum00 15016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
29	27, 28	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
30	13	recnd 10470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		sqeq0 13304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
33	7	recnd 10470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
34	12	recnd 10470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33, 34	subeq0ad 10810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
36	32, 35	bitrd 271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
37	36	ralbidva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
38	29, 37	bitrd 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
39	3	rrnmval 34548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
40	39	3expb 1100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
41	40	eqeq1d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0))
42	6	ffnd 6347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
43	11	ffnd 6347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
44		eqfnfv 6629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
45	42, 43, 44	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
46	38, 41, 45	3bitr4d 303	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
47		simpll 754	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
48	7	adantlr 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
50	49, 3	syl6eleq 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
51		elmapi 8230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
53	52	ffvelrnda 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℝ)
54	48, 53	resubcld 10871	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) ∈ ℝ)
55	12	adantlr 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
56	53, 55	resubcld 10871	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
57	47, 54, 56	trirn 23709	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
58	33	adantlr 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
59	53	recnd 10470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ)
60	34	adantlr 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	npncand 10824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))) = ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))
62	61	oveq1d 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
63	62	sumeq2dv 14923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
64	63	fveq2d 6505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
65		sqsubswap 13301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
66	58, 59, 65	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
67	66	sumeq2dv 14923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
68	67	fveq2d 6505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
69	68	oveq1d 6993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
70	57, 64, 69	3brtr3d 4961	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
71	40	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
72	3	rrnmval 34548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
73	72	3adant3r 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
74	3	rrnmval 34548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
75	74	3adant3l 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
76	73, 75	oveq12d 6996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
77	76	3expa 1098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
78	77	an32s 639	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
79	70, 71, 78	3brtr4d 4962	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
80	79	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
81	46, 80	jca 504	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
82	81	ralrimivva 3141	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
83		ovex 7010	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∈ V
84	3, 83	eqeltri 2862	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
85		ismet 22639	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))))
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))))
87	25, 82, 86	sylanbrc 575	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  Vcvv 3415   class class class wbr 4930   × cxp 5406   Fn wfn 6185  ⟶wf 6186  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978   ∈ cmpo 6980   ↑_𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308  ℂcc 10335  ℝcr 10336  0cc0 10337   + caddc 10340   ≤ cle 10477   − cmin 10672  2c2 11498  ↑cexp 13247  √csqrt 14456  Σcsu 14906  Metcmet 20236  ℝⁿcrrn 34545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-ico 12563  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-met 20244  df-rrn 34546

This theorem is referenced by:  rrncmslem  34552  rrncms  34553  rrnequiv  34555  rrntotbnd  34556  rrnheibor  34557  ismrer1  34558  reheibor  34559