Theorem rrnmet 38367

Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		rrnval.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	2, 3	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
8		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
9	8, 3	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10		elmapi 8845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
15	1, 14	fsumrecl 15784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 14172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
17	1, 14, 16	fsumge0 15846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
18	15, 17	resqrtcld 15468	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
19	18	ralrimivva 3214	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
21	20	fmpo 8064	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
22	19, 21	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	3	rrnval 38365	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
24	23	feq1d 6688	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
25	22, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26		sqrt00 15313	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
27	15, 17, 26	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
28	1, 14, 16	fsum00 15849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
29	27, 28	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
30	13	recnd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		sqeq0 14155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
33	7	recnd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
34	12	recnd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33, 34	subeq0ad 11578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
36	32, 35	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
37	36	ralbidva 3192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
38	29, 37	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
39	3	rrnmval 38366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
40	39	3expb 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
41	40	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0))
42	6	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
43	11	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
44		eqfnfv 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
45	42, 43, 44	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
46	38, 41, 45	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
47		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
48	7	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
49		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
50	49, 3	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51		elmapi 8845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
53	52	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℝ)
54	48, 53	resubcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) ∈ ℝ)
55	12	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
56	53, 55	resubcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
57	47, 54, 56	trirn 25527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
58	33	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
59	53	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ)
60	34	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	npncand 11592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))) = ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))
62	61	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
63	62	sumeq2dv 15752	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
64	63	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
65		sqsubswap 14152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
66	58, 59, 65	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
67	66	sumeq2dv 15752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
68	67	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
69	68	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
70	57, 64, 69	3brtr3d 5146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
71	40	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
72	3	rrnmval 38366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
73	72	3adant3r 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
74	3	rrnmval 38366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
75	74	3adant3l 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
76	73, 75	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
77	76	3expa 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
78	77	an32s 664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
79	70, 71, 78	3brtr4d 5147	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
80	79	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
81	46, 80	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
82	81	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
83		ovex 7444	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
84	3, 83	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
85		ismet 24448	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))))
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))))
87	25, 82, 86	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   class class class wbr 5113   × cxp 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099   + caddc 11102   ≤ cle 11243   − cmin 11440  2c2 12294  ↑cexp 14096  √csqrt 15283  Σcsu 15736  Metcmet 21476  ℝⁿcrrn 38363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-met 21484  df-rrn 38364

This theorem is referenced by:  rrncmslem  38370  rrncms  38371  rrnequiv  38373  rrntotbnd  38374  rrnheibor  38375  ismrer1  38376  reheibor  38377