Theorem rrnmet 37830

Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		rrnval.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	2, 3	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
8		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
9	8, 3	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10		elmapi 8825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 11613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
15	1, 14	fsumrecl 15707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
16	13	sqge0d 14109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
17	1, 14, 16	fsumge0 15768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
18	15, 17	resqrtcld 15391	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
19	18	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
21	20	fmpo 8050	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
22	19, 21	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	3	rrnval 37828	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
24	23	feq1d 6673	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
25	22, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26		sqrt00 15236	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
27	15, 17, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
28	1, 14, 16	fsum00 15771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
29	27, 28	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0))
30	13	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ)
31		sqeq0 14092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0))
33	7	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
34	12	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33, 34	subeq0ad 11550	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
36	32, 35	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
37	36	ralbidva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
38	29, 37	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
39	3	rrnmval 37829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
40	39	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
41	40	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = 0))
42	6	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
43	11	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
44		eqfnfv 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
45	42, 43, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
46	38, 41, 45	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
47		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
48	7	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℝ)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
50	49, 3	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51		elmapi 8825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
53	52	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℝ)
54	48, 53	resubcld 11613	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) ∈ ℝ)
55	12	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℝ)
56	53, 55	resubcld 11613	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) ∈ ℝ)
57	47, 54, 56	trirn 25307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
58	33	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑘) ∈ ℂ)
59	53	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ)
60	34	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑘) ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	npncand 11564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))) = ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))
62	61	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
63	62	sumeq2dv 15675	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
64	63	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘)) + ((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
65		sqsubswap 14089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
66	58, 59, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
67	66	sumeq2dv 15675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2))
68	67	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
69	68	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑧‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
70	57, 64, 69	3brtr3d 5141	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
71	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
72	3	rrnmval 37829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
73	72	3adant3r 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)))
74	3	rrnmval 37829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
75	74	3adant3l 1181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
76	73, 75	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
77	76	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
78	77	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑥‘𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑧‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
79	70, 71, 78	3brtr4d 5142	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
80	79	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))
81	46, 80	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
82	81	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))
83		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
84	3, 83	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
85		ismet 24218	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦))))))
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn‘𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn‘𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn‘𝐼)𝑦)))))
87	25, 82, 86	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   ≤ cle 11216   − cmin 11412  2c2 12248  ↑cexp 14033  √csqrt 15206  Σcsu 15659  Metcmet 21257  ℝⁿcrrn 37826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-met 21265  df-rrn 37827

This theorem is referenced by:  rrncmslem  37833  rrncms  37834  rrnequiv  37836  rrntotbnd  37837  rrnheibor  37838  ismrer1  37839  reheibor  37840