Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnmet 36686
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmet (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5 elmapi 8840 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
98, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10 elmapi 8840 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 11639 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1413resqcld 14087 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
151, 14fsumrecl 15677 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
1613sqge0d 14099 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
171, 14, 16fsumge0 15738 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
1815, 17resqrtcld 15361 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
1918ralrimivva 3201 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
20 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
2120fmpo 8051 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2219, 21sylib 217 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
233rrnval 36684 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
2423feq1d 6700 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((ℝnβ€˜πΌ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
2522, 24mpbird 257 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
26 sqrt00 15207 . . . . . . . 8 ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
2715, 17, 26syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
281, 14, 16fsum00 15741 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
2927, 28bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
3013recnd 11239 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
31 sqeq0 14082 . . . . . . . . 9 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ β„‚ β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0))
337recnd 11239 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3412recnd 11239 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3533, 34subeq0ad 11578 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
3632, 35bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
3736ralbidva 3176 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
3829, 37bitrd 279 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
393rrnmval 36685 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
40393expb 1121 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
4140eqeq1d 2735 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = 0 ↔ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0))
426ffnd 6716 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ Fn 𝐼)
4311ffnd 6716 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
44 eqfnfv 7030 . . . . . 6 ((π‘₯ Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4542, 43, 44syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4638, 41, 453bitr4d 311 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
47 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
487adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
49 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
5049, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51 elmapi 8840 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„)
5352ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5448, 53resubcld 11639 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5512adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5653, 55resubcld 11639 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5747, 54, 56trirn 24909 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2)) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
5833adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5953recnd 11239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6034adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6158, 59, 60npncand 11592 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))) = ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))
6261oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
6362sumeq2dv 15646 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
6463fveq2d 6893 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
65 sqsubswap 14079 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
6658, 59, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
6766sumeq2dv 15646 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
6867fveq2d 6893 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
6968oveq1d 7421 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
7057, 64, 693brtr3d 5179 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
7140adantr 482 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
723rrnmval 36685 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
73723adant3r 1182 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
743rrnmval 36685 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
75743adant3l 1181 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
7673, 75oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
77763expa 1119 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
7877an32s 651 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
7970, 71, 783brtr4d 5180 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)))
8079ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)))
8146, 80jca 513 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦))))
8281ralrimivva 3201 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦))))
83 ovex 7439 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
843, 83eqeltri 2830 . . 3 𝑋 ∈ V
85 ismet 23821 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ ((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ ((ℝnβ€˜πΌ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦))))))
8684, 85ax-mp 5 . 2 ((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ ((ℝnβ€˜πΌ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((𝑧(ℝnβ€˜πΌ)π‘₯) + (𝑧(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)))))
8725, 82, 86sylanbrc 584 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  2c2 12264  β†‘cexp 14024  βˆšcsqrt 15177  Ξ£csu 15629  Metcmet 20923  β„ncrrn 36682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-met 20931  df-rrn 36683
This theorem is referenced by:  rrncmslem  36689  rrncms  36690  rrnequiv  36692  rrntotbnd  36693  rrnheibor  36694  ismrer1  36695  reheibor  36696
  Copyright terms: Public domain W3C validator