Theorem ismet2 24289

Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismet2	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Proof of Theorem ismet2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6877	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		elfvex 6877	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝑋 ∈ V)
4		simpllr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
6		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7	4, 5, 6	fovcdmd 7540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
8		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
9	4, 5, 8	fovcdmd 7540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10	7, 9	rexaddd 13161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
11	10	breq2d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
12	11	ralbidva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
13	12	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14	13	2ralbidva 3200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16		ressxr 11188	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
17		fss 6686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
19	18	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
20	14, 19	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
21	20	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))))
22	21	biancomd 463	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
23		ismet 24279	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
24		isxmet 24280	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
25	24	anbi1d 632	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
26	22, 23, 25	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
27	1, 3, 26	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179   +_𝑒 cxad 13036  ∞Metcxmet 21306  Metcmet 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-xadd 13039  df-xmet 21314  df-met 21315

This theorem is referenced by:  metxmet  24290  metres2  24319  prdsmet  24326  imasf1omet  24332  xmetresbl  24393  stdbdmet  24472  isbndx  38030