Theorem ismet2 24490

Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismet2	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Proof of Theorem ismet2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6916	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		elfvex 6916	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝑋 ∈ V)
4		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
6		simplrl 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7	4, 5, 6	fovcdmd 7582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
8		simplrr 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
9	4, 5, 8	fovcdmd 7582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10	7, 9	rexaddd 13255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
11	10	breq2d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
12	11	ralbidva 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
13	12	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14	13	2ralbidva 3227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
15		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16		ressxr 11248	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
17		fss 6722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
18	15, 16, 17	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
19	18	biantrurd 541	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
20	14, 19	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
21	20	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))))
22	21	biancomd 468	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
23		ismet 24480	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
24		isxmet 24481	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
25	24	anbi1d 642	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
26	22, 23, 25	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
27	1, 3, 26	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   + caddc 11098  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239   +_𝑒 cxad 13130  ∞Metcxmet 21507  Metcmet 21508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-mulcl 11157  ax-i2m1 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-xadd 13133  df-xmet 21515  df-met 21516

This theorem is referenced by:  metxmet  24491  metres2  24520  prdsmet  24527  imasf1omet  24533  xmetresbl  24594  stdbdmet  24673  isbndx  38433