MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismet2 24343
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))

Proof of Theorem ismet2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6944 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 elfvex 6944 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
32adantr 480 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝑋 ∈ V)
4 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
6 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥𝑋)
74, 5, 6fovcdmd 7605 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
8 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑋)
94, 5, 8fovcdmd 7605 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
107, 9rexaddd 13276 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1110breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
1211ralbidva 3176 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
1312anbi2d 630 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14132ralbidva 3219 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16 ressxr 11305 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
17 fss 6752 . . . . . . . 8 ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
1918biantrurd 532 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
2014, 19bitr3d 281 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
2120pm5.32da 579 . . . 4 (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))))
2221biancomd 463 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
23 ismet 24333 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
24 isxmet 24334 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
2524anbi1d 631 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ) ↔ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
2622, 23, 253bitr4d 311 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)))
271, 3, 26pm5.21nii 378 1 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  *cxr 11294  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-xadd 13155  df-xmet 21357  df-met 21358
This theorem is referenced by:  metxmet  24344  metres2  24373  prdsmet  24380  imasf1omet  24386  xmetresbl  24447  stdbdmet  24529  isbndx  37789
  Copyright terms: Public domain W3C validator