Theorem isneip 23070

Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of point 𝑃". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4729	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2		neifval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	isnei 23068	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
4	1, 3	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
5		snssg 4727	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
6	5	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
7	6	rexbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
8	7	anbi2d 631	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
10	4, 9	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Topctop 22858  neicnei 23062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-top 22859  df-nei 23063

This theorem is referenced by:  neips  23078  neindisj  23082  neindisj2  23088  neiptopnei  23097  cnpnei  23229  fbflim2  23942  cnpflf2  23965  neibl  24466  neibastop2  36543  neibastop3  36544