MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isneip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isneip 23128
Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of point 𝑃". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isneip ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip
StepHypRef Expression
1 snssi 4812 . . 3 (𝑃𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
32isnei 23126 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
41, 3sylan2 593 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
5 snssg 4787 . . . . . 6 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
65anbi1d 631 . . . . 5 (𝑃𝑋 → ((𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
76rexbidv 3176 . . . 4 (𝑃𝑋 → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
87anbi2d 630 . . 3 (𝑃𝑋 → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
98adantl 481 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
104, 9bitr4d 282 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  wss 3962  {csn 4630   cuni 4911  cfv 6562  Topctop 22914  neicnei 23120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-top 22915  df-nei 23121
This theorem is referenced by:  neips  23136  neindisj  23140  neindisj2  23146  neiptopnei  23155  cnpnei  23287  fbflim2  24000  cnpflf2  24023  neibl  24529  neibastop2  36343  neibastop3  36344
  Copyright terms: Public domain W3C validator