Theorem neii1 23050

Description: A neighborhood is included in the topology's base set. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neii1	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑁 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem neii1

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	neiss2 23045	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3	1	isnei 23047	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
5	3, 4	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑁 ⊆ 𝑋))
6	5	impancom 451	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑁 ⊆ 𝑋))
7	2, 6	mpd 15	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑁 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863  ‘cfv 6492  Topctop 22837  neicnei 23041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-top 22838  df-nei 23042

This theorem is referenced by:  neisspw  23051  neiss  23053  opnnei  23064  neiuni  23066  topssnei  23068  innei  23069  neissex  23071  iscnp4  23207  llycmpkgen2  23494  neitx  23551  flimopn  23919  flfnei  23935  fclsneii  23961  fcfnei  23979  cnextcn  24011  limcflf  25838  cvmlift2lem1  35496  neiin  36526  neibastop2  36555  cnneiima  49162