Theorem neibl 24484

Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
neibl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntop 24423	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	mopnuni 24424	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∈ 𝑋 ↔ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
6	5	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	isneip 23088	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
9	3, 6, 8	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
10	4	sseq2d 3947	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
12	11	anbi1d 637	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
13	1	mopni2 24476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14		sstr2 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
15	14	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
16	15	reximdv 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
17	13, 16	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18	17	3exp 1125	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
19	18	imp4a 423	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
20	19	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
21	20	rexlimdv 3138	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22		rpxr 12943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23	1	blopn 24483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
24	22, 23	syl3an3 1171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25		blcntr 24396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26		eleq2 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27		sseq1 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
28	26, 27	anbi12d 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
29	28	rspcev 3560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))
30	29	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
31	24, 25, 30	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
32	31	3expia 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
33	32	rexlimdv 3138	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
34	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
35	21, 34	impbid 213	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
36	35	pm5.32da 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
37	9, 12, 36	3bitr2d 308	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11169  ℝ⁺crp 12933  ∞Metcxmet 21332  ballcbl 21334  MetOpencmopn 21337  Topctop 22876  neicnei 23080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-nei 23081

This theorem is referenced by:  reperflem  24802  islpcn  46082