Theorem neibl 24875

Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
neibl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntop 24814	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	mopnuni 24815	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∈ 𝑋 ↔ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
6	5	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	isneip 23478	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
9	3, 6, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
10	4	sseq2d 3945	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
12	11	anbi1d 643	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
13	1	mopni2 24867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14		sstr2 3920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
15	14	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
16	15	reximdv 3181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
17	13, 16	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18	17	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
19	18	imp4a 428	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
20	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
21	20	rexlimdv 3165	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22		rpxr 13170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23	1	blopn 24874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
24	22, 23	syl3an3 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25		blcntr 24787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26		eleq2 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27		sseq1 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
28	26, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
29	28	rspcev 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))
30	29	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
31	24, 25, 30	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
32	31	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
33	32	rexlimdv 3165	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
35	21, 34	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
36	35	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
37	9, 12, 36	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381  ℝ⁺crp 13160  ∞Metcxmet 21714  ballcbl 21716  MetOpencmopn 21719  Topctop 23266  neicnei 23470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-nei 23471

This theorem is used by:  reperflem  25193  islpcn  46922