MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neibl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem neibl 24010
Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
neibl ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ÿ   𝐽,π‘Ÿ   𝑁,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ
Proof of Theorem neibl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 23946 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 23947 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
54eleq2d 2820 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ↔ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽))
65biimpa 478 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
7 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
87isneip 22609 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
93, 6, 8syl2anc 585 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
104sseq2d 4015 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑁 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽))
1110adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽))
1211anbi1d 631 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)) ↔ (𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
131mopni2 24002 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)
14 sstr2 3990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
1514com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
1615reximdv 3171 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
1713, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
18173exp 1120 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 β†’ (𝑃 ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))))
1918imp4a 424 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
2019ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
2120rexlimdv 3154 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
22 rpxr 12983 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
231blopn 24009 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
2422, 23syl3an3 1166 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
25 blcntr 23919 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
26 eleq2 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
27 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 ↔ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
2928rspcev 3613 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))
3029expr 458 . . . . . . . 8 (((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
3124, 25, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
32313expia 1122 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
3332rexlimdv 3154 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
3433adantr 482 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
3521, 34impbid 211 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
3635pm5.32da 580 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)) ↔ (𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
379, 12, 363bitr2d 307 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„*cxr 11247  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Topctop 22395  neicnei 22601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-nei 22602
This theorem is referenced by:  reperflem  24334  islpcn  44355
  Copyright terms: Public domain W3C validator