Theorem neibl 24387

Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
neibl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntop 24326	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	mopnuni 24327	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∈ 𝑋 ↔ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	isneip 22990	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
9	3, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
10	4	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
12	11	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
13	1	mopni2 24379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14		sstr2 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
15	14	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
16	15	reximdv 3144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
17	13, 16	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18	17	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
19	18	imp4a 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
20	19	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
21	20	rexlimdv 3128	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22		rpxr 12903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23	1	blopn 24386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
24	22, 23	syl3an3 1165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25		blcntr 24299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26		eleq2 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27		sseq1 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
28	26, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
29	28	rspcev 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))
30	29	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
31	24, 25, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
32	31	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
33	32	rexlimdv 3128	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
35	21, 34	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
36	35	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
37	9, 12, 36	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝ^*cxr 11148  ℝ⁺crp 12893  ∞Metcxmet 21246  ballcbl 21248  MetOpencmopn 21251  Topctop 22778  neicnei 22982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-nei 22983

This theorem is referenced by:  reperflem  24705  islpcn  45630