MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neibl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neibl 24530
Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
neibl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 24466 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 24467 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54eleq2d 2825 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃𝑋𝑃 𝐽))
65biimpa 476 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃 𝐽)
7 eqid 2735 . . . 4 𝐽 = 𝐽
87isneip 23129 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
93, 6, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
104sseq2d 4028 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1110adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1211anbi1d 631 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
131mopni2 24522 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14 sstr2 4002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1514com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1615reximdv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1713, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18173exp 1118 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
1918imp4a 422 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2019ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2120rexlimdv 3151 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22 rpxr 13042 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
231blopn 24529 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
2422, 23syl3an3 1164 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25 blcntr 24439 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26 eleq2 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝑦𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27 sseq1 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2928rspcev 3622 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))
3029expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3124, 25, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
32313expia 1120 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
3332rexlimdv 3151 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3433adantr 480 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3521, 34impbid 212 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
3635pm5.32da 579 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
379, 12, 363bitr2d 307 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963  {csn 4631   cuni 4912  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292  +crp 13032  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372  Topctop 22915  neicnei 23121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-nei 23122
This theorem is referenced by:  reperflem  24854  islpcn  45595
  Copyright terms: Public domain W3C validator