Theorem neibl 24832

Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
neibl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntop 24771	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	mopnuni 24772	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∈ 𝑋 ↔ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
6	5	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	isneip 23435	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
9	3, 6, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
10	4	sseq2d 3944	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
12	11	anbi1d 643	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
13	1	mopni2 24824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14		sstr2 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
15	14	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
16	15	reximdv 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
17	13, 16	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18	17	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
19	18	imp4a 428	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
20	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
21	20	rexlimdv 3164	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22		rpxr 13140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23	1	blopn 24831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
24	22, 23	syl3an3 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25		blcntr 24744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26		eleq2 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27		sseq1 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
28	26, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
29	28	rspcev 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))
30	29	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
31	24, 25, 30	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
32	31	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
33	32	rexlimdv 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
35	21, 34	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
36	35	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
37	9, 12, 36	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899  {csn 4587  ∪ cuni 4869  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℝ^*cxr 11352  ℝ⁺crp 13130  ∞Metcxmet 21675  ballcbl 21677  MetOpencmopn 21680  Topctop 23223  neicnei 23427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-topgen 17626  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-nei 23428

This theorem is used by:  reperflem  25150  islpcn  46788