MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neibl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neibl 23809
Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
neibl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 23745 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 23746 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54eleq2d 2824 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃𝑋𝑃 𝐽))
65biimpa 478 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃 𝐽)
7 eqid 2738 . . . 4 𝐽 = 𝐽
87isneip 22408 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
93, 6, 8syl2anc 585 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
104sseq2d 3975 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1110adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1211anbi1d 631 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
131mopni2 23801 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14 sstr2 3950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1514com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1615reximdv 3166 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1713, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18173exp 1120 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
1918imp4a 424 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2019ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2120rexlimdv 3149 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22 rpxr 12879 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
231blopn 23808 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
2422, 23syl3an3 1166 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25 blcntr 23718 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26 eleq2 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝑦𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27 sseq1 3968 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2928rspcev 3580 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))
3029expr 458 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3124, 25, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
32313expia 1122 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
3332rexlimdv 3149 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3433adantr 482 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3521, 34impbid 211 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
3635pm5.32da 580 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
379, 12, 363bitr2d 307 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  wss 3909  {csn 4585   cuni 4864  cfv 6494  (class class class)co 7352  *cxr 11147  +crp 12870  ∞Metcxmet 20734  ballcbl 20736  MetOpencmopn 20739  Topctop 22194  neicnei 22400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-nei 22401
This theorem is referenced by:  reperflem  24133  islpcn  43775
  Copyright terms: Public domain W3C validator