Theorem neibl 24447

Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
neibl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntop 24386	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	mopnuni 24387	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∈ 𝑋 ↔ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	isneip 23051	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
9	3, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
10	4	sseq2d 3966	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽))
12	11	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
13	1	mopni2 24439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14		sstr2 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
15	14	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
16	15	reximdv 3151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
17	13, 16	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18	17	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ 𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
19	18	imp4a 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
20	19	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐽 → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
21	20	rexlimdv 3135	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22		rpxr 12917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23	1	blopn 24446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
24	22, 23	syl3an3 1165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25		blcntr 24359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26		eleq2 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27		sseq1 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
28	26, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
29	28	rspcev 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))
30	29	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
31	24, 25, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
32	31	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁))))
33	32	rexlimdv 3135	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)))
35	21, 34	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
36	35	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
37	9, 12, 36	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ∪ cuni 4863  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11167  ℝ⁺crp 12907  ∞Metcxmet 21296  ballcbl 21298  MetOpencmopn 21301  Topctop 22839  neicnei 23043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-topgen 17365  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-nei 23044

This theorem is referenced by:  reperflem  24765  islpcn  45904