MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neibl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neibl 23108
Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
neibl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 23047 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 23048 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54eleq2d 2875 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃𝑋𝑃 𝐽))
65biimpa 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃 𝐽)
7 eqid 2798 . . . 4 𝐽 = 𝐽
87isneip 21710 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
93, 6, 8syl2anc 587 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
104sseq2d 3947 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1110adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1211anbi1d 632 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
131mopni2 23100 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14 sstr2 3922 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1514com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1615reximdv 3232 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1713, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18173exp 1116 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
1918imp4a 426 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2019ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2120rexlimdv 3242 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22 rpxr 12386 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
231blopn 23107 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
2422, 23syl3an3 1162 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25 blcntr 23020 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26 eleq2 2878 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝑦𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27 sseq1 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
2826, 27anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2928rspcev 3571 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))
3029expr 460 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3124, 25, 30syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
32313expia 1118 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
3332rexlimdv 3242 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3433adantr 484 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3521, 34impbid 215 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
3635pm5.32da 582 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
379, 12, 363bitr2d 310 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wrex 3107  wss 3881  {csn 4525   cuni 4800  cfv 6324  (class class class)co 7135  *cxr 10663  +crp 12377  ∞Metcxmet 20076  ballcbl 20078  MetOpencmopn 20081  Topctop 21498  neicnei 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-nei 21703
This theorem is referenced by:  reperflem  23423  islpcn  42276
  Copyright terms: Public domain W3C validator