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Theorem neibastop2 36344
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1 (𝜑𝑋𝑉)
neibastop1.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
neibastop1.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
neibastop1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
neibastop2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑡,𝑦,𝑥   𝑣,𝐽   𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑃   𝑜,𝑁,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝐹,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑜,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝑋,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤,𝑡,𝑜)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑡,𝑜)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑧 𝑠 𝑢 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
51, 2, 3, 4neibastop1 36342 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 topontop 22935 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
9 eqid 2735 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
109neii1 23130 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
118, 10sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
12 toponuni 22936 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1413ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑋 = 𝐽)
1511, 14sseqtrrd 4037 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁𝑋)
16 neii2 23132 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
178, 16sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
18 pweq 4619 . . . . . . . . . . 11 (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
1918ineq2d 4228 . . . . . . . . . 10 (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
2019neeq1d 2998 . . . . . . . . 9 (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2120raleqbi1dv 3336 . . . . . . . 8 (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2221, 4elrab2 3698 . . . . . . 7 (𝑦𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
23 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑦𝑁)
2423sspwd 4618 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁)
25 sslin 4251 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁 → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
27 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → {𝑃} ⊆ 𝑦)
28 snssg 4788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
2928ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
3027, 29mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑃𝑦)
31 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑃))
3231ineq1d 4227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) = ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦))
3332neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3433rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝑦 → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3530, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
36 ssn0 4410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
3726, 35, 36syl6an 684 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
3837expr 456 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
3938com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4039expimpd 453 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4122, 40biimtrid 242 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑦𝐽 → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4241rexlimdv 3151 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4317, 42mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
4415, 43jca 511 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4544ex 412 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
46 n0 4359 . . . 4 (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
47 elin 3979 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ↔ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))
48 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁𝑋)
4913ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋 = 𝐽)
5048, 49sseqtrd 4036 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 𝐽)
511ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋𝑉)
522ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
53 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝜑)
5453, 3sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
55 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
5653, 55sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
57 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
5853, 57sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
59 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃𝑋)
60 simprrl 781 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝐹𝑃))
61 simprrr 782 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁)
6261elpwid 4614 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠𝑁)
63 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑥))
6463ineq1d 4227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏))
6564cbviunv 5045 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏)
66 pweq 4619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑧 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝑧)
6766ineq2d 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6867iuneq2d 5027 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑧 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6965, 68eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑧 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
7069cbviunv 5045 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)
7170mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
72 rdgeq1 8450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠})
7473reseq1i 5996 . . . . . . . . 9 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}) ↾ ω)
75 pweq 4619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → 𝒫 𝑔 = 𝒫 𝑓)
7675ineq2d 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) = ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓))
7776neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
7877cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
79 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
8079ineq1d 4227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓))
8180neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8281rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8378, 82bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8483cbvrabv 3444 . . . . . . . . 9 {𝑤𝑋 ∣ ∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅} = {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅}
8551, 52, 54, 4, 56, 58, 59, 48, 60, 62, 74, 84neibastop2lem 36343 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
867ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐽 ∈ Top)
8759, 49eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃 𝐽)
889isneip 23129 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
8986, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
9050, 85, 89mpbir2and 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9190expr 456 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9247, 91biimtrid 242 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9392exlimdv 1931 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9446, 93biimtrid 242 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9594expimpd 453 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9645, 95impbid 212 1 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   ciun 4996  cmpt 5231  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  ωcom 7887  reccrdg 8448  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  neicnei 23121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-top 22916  df-topon 22933  df-nei 23122
This theorem is referenced by:  neibastop3  36345
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