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Theorem neibastop2 35835
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1 (𝜑𝑋𝑉)
neibastop1.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
neibastop1.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
neibastop1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
neibastop2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑡,𝑦,𝑥   𝑣,𝐽   𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑃   𝑜,𝑁,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝐹,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑜,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝑋,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤,𝑡,𝑜)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑡,𝑜)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑧 𝑠 𝑢 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
51, 2, 3, 4neibastop1 35833 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 topontop 22808 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
9 eqid 2727 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
109neii1 23003 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
118, 10sylan 579 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
12 toponuni 22809 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1413ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑋 = 𝐽)
1511, 14sseqtrrd 4019 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁𝑋)
16 neii2 23005 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
178, 16sylan 579 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
18 pweq 4612 . . . . . . . . . . 11 (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
1918ineq2d 4208 . . . . . . . . . 10 (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
2019neeq1d 2995 . . . . . . . . 9 (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2120raleqbi1dv 3328 . . . . . . . 8 (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2221, 4elrab2 3683 . . . . . . 7 (𝑦𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
23 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑦𝑁)
2423sspwd 4611 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁)
25 sslin 4230 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁 → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
27 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → {𝑃} ⊆ 𝑦)
28 snssg 4783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
2928ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
3027, 29mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑃𝑦)
31 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑃))
3231ineq1d 4207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) = ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦))
3332neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3433rspcv 3603 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝑦 → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3530, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
36 ssn0 4396 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
3726, 35, 36syl6an 683 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
3837expr 456 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
3938com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4039expimpd 453 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4122, 40biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑦𝐽 → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4241rexlimdv 3148 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4317, 42mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
4415, 43jca 511 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4544ex 412 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
46 n0 4342 . . . 4 (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
47 elin 3960 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ↔ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))
48 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁𝑋)
4913ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋 = 𝐽)
5048, 49sseqtrd 4018 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 𝐽)
511ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋𝑉)
522ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
53 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝜑)
5453, 3sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
55 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
5653, 55sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
57 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
5853, 57sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
59 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃𝑋)
60 simprrl 780 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝐹𝑃))
61 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁)
6261elpwid 4607 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠𝑁)
63 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑥))
6463ineq1d 4207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏))
6564cbviunv 5037 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏)
66 pweq 4612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑧 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝑧)
6766ineq2d 4208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6867iuneq2d 5020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑧 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6965, 68eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑧 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
7069cbviunv 5037 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)
7170mpteq2i 5247 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
72 rdgeq1 8425 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠})
7473reseq1i 5975 . . . . . . . . 9 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}) ↾ ω)
75 pweq 4612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → 𝒫 𝑔 = 𝒫 𝑓)
7675ineq2d 4208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) = ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓))
7776neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
7877cbvrexvw 3230 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
79 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
8079ineq1d 4207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓))
8180neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8281rexbidv 3173 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8378, 82bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8483cbvrabv 3437 . . . . . . . . 9 {𝑤𝑋 ∣ ∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅} = {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅}
8551, 52, 54, 4, 56, 58, 59, 48, 60, 62, 74, 84neibastop2lem 35834 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
867ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐽 ∈ Top)
8759, 49eleqtrd 2830 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃 𝐽)
889isneip 23002 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
8986, 87, 88syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
9050, 85, 89mpbir2and 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9190expr 456 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9247, 91biimtrid 241 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9392exlimdv 1929 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9446, 93biimtrid 241 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9594expimpd 453 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9645, 95impbid 211 1 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   cuni 4903   ciun 4991  cmpt 5225  ran crn 5673  cres 5674  wf 6538  cfv 6542  ωcom 7864  reccrdg 8423  Topctop 22788  TopOnctopon 22805  neicnei 22994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-top 22789  df-topon 22806  df-nei 22995
This theorem is referenced by:  neibastop3  35836
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