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Theorem neibastop2 34833
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1 (𝜑𝑋𝑉)
neibastop1.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
neibastop1.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
neibastop1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
neibastop2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑡,𝑦,𝑥   𝑣,𝐽   𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑃   𝑜,𝑁,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝐹,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑜,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝑋,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤,𝑡,𝑜)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑡,𝑜)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑧 𝑠 𝑢 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
51, 2, 3, 4neibastop1 34831 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 topontop 22262 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
9 eqid 2736 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
109neii1 22457 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
118, 10sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
12 toponuni 22263 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1413ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑋 = 𝐽)
1511, 14sseqtrrd 3985 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁𝑋)
16 neii2 22459 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
178, 16sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
18 pweq 4574 . . . . . . . . . . 11 (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
1918ineq2d 4172 . . . . . . . . . 10 (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
2019neeq1d 3003 . . . . . . . . 9 (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2120raleqbi1dv 3307 . . . . . . . 8 (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2221, 4elrab2 3648 . . . . . . 7 (𝑦𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
23 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑦𝑁)
2423sspwd 4573 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁)
25 sslin 4194 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁 → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
27 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → {𝑃} ⊆ 𝑦)
28 snssg 4744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
2928ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
3027, 29mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑃𝑦)
31 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑃))
3231ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) = ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦))
3332neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3433rspcv 3577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝑦 → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3530, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
36 ssn0 4360 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
3726, 35, 36syl6an 682 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
3837expr 457 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
3938com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4039expimpd 454 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4122, 40biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑦𝐽 → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4241rexlimdv 3150 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4317, 42mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
4415, 43jca 512 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4544ex 413 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
46 n0 4306 . . . 4 (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
47 elin 3926 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ↔ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))
48 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁𝑋)
4913ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋 = 𝐽)
5048, 49sseqtrd 3984 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 𝐽)
511ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋𝑉)
522ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
53 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝜑)
5453, 3sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
55 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
5653, 55sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
57 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
5853, 57sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
59 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃𝑋)
60 simprrl 779 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝐹𝑃))
61 simprrr 780 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁)
6261elpwid 4569 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠𝑁)
63 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑥))
6463ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏))
6564cbviunv 5000 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏)
66 pweq 4574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑧 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝑧)
6766ineq2d 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6867iuneq2d 4983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑧 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6965, 68eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑧 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
7069cbviunv 5000 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)
7170mpteq2i 5210 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
72 rdgeq1 8357 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠})
7473reseq1i 5933 . . . . . . . . 9 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}) ↾ ω)
75 pweq 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → 𝒫 𝑔 = 𝒫 𝑓)
7675ineq2d 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) = ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓))
7776neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
7877cbvrexvw 3226 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
79 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
8079ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓))
8180neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8281rexbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8378, 82bitrid 282 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8483cbvrabv 3417 . . . . . . . . 9 {𝑤𝑋 ∣ ∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅} = {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅}
8551, 52, 54, 4, 56, 58, 59, 48, 60, 62, 74, 84neibastop2lem 34832 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
867ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐽 ∈ Top)
8759, 49eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃 𝐽)
889isneip 22456 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
8986, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
9050, 85, 89mpbir2and 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9190expr 457 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9247, 91biimtrid 241 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9392exlimdv 1936 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9446, 93biimtrid 241 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9594expimpd 454 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9645, 95impbid 211 1 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865   ciun 4954  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  ωcom 7802  reccrdg 8355  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  neicnei 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-top 22243  df-topon 22260  df-nei 22449
This theorem is referenced by:  neibastop3  34834
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