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Theorem neibastop2 32944
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1 (𝜑𝑋𝑉)
neibastop1.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
neibastop1.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
neibastop1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
neibastop2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑡,𝑦,𝑥   𝑣,𝐽   𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑃   𝑜,𝑁,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝐹,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑜,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑜,𝑋,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤,𝑡,𝑜)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑡,𝑜)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑧 𝑠 𝑢 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
51, 2, 3, 4neibastop1 32942 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 topontop 21125 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
87adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
9 eqid 2777 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
109neii1 21318 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
118, 10sylan 575 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁 𝐽)
12 toponuni 21126 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1413ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑋 = 𝐽)
1511, 14sseqtr4d 3860 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑁𝑋)
16 neii2 21320 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
178, 16sylan 575 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))
18 pweq 4381 . . . . . . . . . . 11 (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
1918ineq2d 4036 . . . . . . . . . 10 (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
2019neeq1d 3027 . . . . . . . . 9 (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2120raleqbi1dv 3327 . . . . . . . 8 (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
2221, 4elrab2 3575 . . . . . . 7 (𝑦𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
23 simprrr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑦𝑁)
24 sspwb 5149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑁 ↔ 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁)
2523, 24sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁)
26 sslin 4058 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑁 → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
28 simprrl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → {𝑃} ⊆ 𝑦)
29 snssg 4547 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
3029ad3antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (𝑃𝑦 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑦))
3128, 30mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → 𝑃𝑦)
32 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑃))
3332ineq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) = ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦))
3433neeq1d 3027 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3534rspcv 3506 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝑦 → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
37 ssn0 4201 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
3827, 36, 37syl6an 674 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁))) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
3938expr 450 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4039com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4140expimpd 447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑦 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4222, 41syl5bi 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑦𝐽 → (({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
4342rexlimdv 3211 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (∃𝑦𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑦𝑦𝑁) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4417, 43mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)
4515, 44jca 507 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅))
4645ex 403 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
47 n0 4158 . . . 4 (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁))
48 elin 4018 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ↔ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))
49 simprl 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁𝑋)
5013ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋 = 𝐽)
5149, 50sseqtrd 3859 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 𝐽)
521ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑋𝑉)
532ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
54 simpll 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝜑)
5554, 3sylan 575 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
56 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
5754, 56sylan 575 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
58 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
5954, 58sylan 575 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
60 simplr 759 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃𝑋)
61 simprrl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ (𝐹𝑃))
62 simprrr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁)
6362elpwid 4390 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑠𝑁)
64 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑥))
6564ineq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏))
6665cbviunv 4792 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏)
67 pweq 4381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑧 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝑧)
6867ineq2d 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
6968iuneq2d 4780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑧 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
7066, 69syl5eq 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑧 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
7170cbviunv 4792 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏) = 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)
7271mpteq2i 4976 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
73 rdgeq1 7790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}))
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) = rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠})
7574reseq1i 5638 . . . . . . . . 9 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑠}) ↾ ω)
76 pweq 4381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → 𝒫 𝑔 = 𝒫 𝑓)
7776ineq2d 4036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) = ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓))
7877neeq1d 3027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
7978cbvrexv 3367 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
80 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
8180ineq1d 4035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓))
8281neeq1d 3027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8382rexbidv 3236 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8479, 83syl5bb 275 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
8584cbvrabv 3395 . . . . . . . . 9 {𝑤𝑋 ∣ ∃𝑔 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑤) ∩ 𝒫 𝑔) ≠ ∅} = {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑏𝑎 𝑛𝑋 ((𝐹𝑛) ∩ 𝒫 𝑏)), {𝑠}) ↾ ω)((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅}
8652, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85neibastop2lem 32943 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
877ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝐽 ∈ Top)
8860, 50eleqtrd 2860 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑃 𝐽)
899isneip 21317 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
9087, 88, 89syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))))
9151, 86, 90mpbir2and 703 . . . . . . 7 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ (𝑁𝑋 ∧ (𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁))) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9291expr 450 . . . . . 6 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9348, 92syl5bi 234 . . . . 5 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9493exlimdv 1976 . . . 4 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9547, 94syl5bi 234 . . 3 (((𝜑𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9695expimpd 447 . 2 ((𝜑𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
9746, 96impbid 204 1 ((𝜑𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑁) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2106  wne 2968  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  Vcvv 3397  cdif 3788  cin 3790  wss 3791  c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   cuni 4671   ciun 4753  cmpt 4965  ran crn 5356  cres 5357  wf 6131  cfv 6135  ωcom 7343  reccrdg 7788  Topctop 21105  TopOnctopon 21122  neicnei 21309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-top 21106  df-topon 21123  df-nei 21310
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