MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem neindisj2 22634
Description: A point 𝑃 belongs to the closure of a set 𝑆 iff every neighborhood of 𝑃 meets 𝑆. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐽   𝑃,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋
Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21elcls 22584 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
31isneip 22616 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑛 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛))))
4 r19.29r 3116 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5 pm3.35 801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
6 ssrin 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ βŠ† 𝑛 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) βŠ† (𝑛 ∩ 𝑆))
7 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∩ 𝑆) = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑆) βŠ† (𝑛 ∩ 𝑆) ↔ (π‘₯ ∩ 𝑆) βŠ† βˆ…))
8 ss0 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∩ 𝑆) βŠ† βˆ… β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) = βˆ…)
97, 8syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∩ 𝑆) = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑆) βŠ† (𝑛 ∩ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) = βˆ…))
106, 9syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ βŠ† 𝑛 β†’ ((𝑛 ∩ 𝑆) = βˆ… β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) = βˆ…))
1110necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ βŠ† 𝑛 β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
125, 11syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1312ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ ((𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑛 β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
1413com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑛 β†’ ((𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
1514imp31 418 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
1615rexlimivw 3151 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
1817ex 413 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1918adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑛)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
203, 19syl6bi 252 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
21203adant2 1131 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
2221com23 86 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
2322imp 407 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
2423ralrimiv 3145 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
25 opnneip 22630 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}))
26 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∩ 𝑆) = (π‘₯ ∩ 𝑆))
2726neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
2827rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
29 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
30293exp 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))
3130com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))
3332ex 413 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))))
3433com3l 89 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))))
3525, 34mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ π‘₯) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))
36353expia 1121 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))))
3736com25 99 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))))
3837ex 413 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))))
3938com25 99 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))))))
40393imp1 1347 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
4140ralrimiv 3145 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
4224, 41impbida 799 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
432, 42bitrd 278 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  Topctop 22402  clsccl 22529  neicnei 22608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22403  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609
This theorem is referenced by:  islp2  22656  trnei  23403  flimclsi  23489
  Copyright terms: Public domain W3C validator