Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neindisj2 21828
 Description: A point 𝑃 belongs to the closure of a set 𝑆 iff every neighborhood of 𝑃 meets 𝑆. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐽   𝑃,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21elcls 21778 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
31isneip 21810 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑛𝑋 ∧ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛))))
4 r19.29r 3182 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐽 ((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
5 pm3.35 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥 ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥𝑆) ≠ ∅)
6 ssrin 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑛 → (𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆))
7 sseq2 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑆) = ∅ → ((𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆) ↔ (𝑥𝑆) ⊆ ∅))
8 ss0 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑆) ⊆ ∅ → (𝑥𝑆) = ∅)
97, 8syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑆) = ∅ → ((𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆) → (𝑥𝑆) = ∅))
106, 9syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑛 → ((𝑛𝑆) = ∅ → (𝑥𝑆) = ∅))
1110necon3d 2972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑛 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
125, 11syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑥 ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥𝑛 → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
1312ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑥 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑥𝑛 → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
1413com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑛 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
1514imp31 421 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
1615rexlimivw 3206 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐽 ((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
1817ex 416 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
1918adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑋 ∧ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛)) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
203, 19syl6bi 256 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
21203adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
2221com23 86 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
2322imp 410 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
2423ralrimiv 3112 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅)
25 opnneip 21824 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
26 ineq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛𝑆) = (𝑥𝑆))
2726neeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑛𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2827rspccva 3542 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑥𝑆) ≠ ∅)
29 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑋 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
30293exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3130com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3332ex 416 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3433com3l 89 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3525, 34mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
36353expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑃𝑥 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3736com25 99 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3837ex 416 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))))
3938com25 99 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))))
40393imp1 1344 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅) → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
4140ralrimiv 3112 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
4224, 41impbida 800 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
432, 42bitrd 282 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  {csn 4525  ∪ cuni 4801  ‘cfv 6339  Topctop 21598  clsccl 21723  neicnei 21802 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-top 21599  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803 This theorem is referenced by:  islp2  21850  trnei  22597  flimclsi  22683
 Copyright terms: Public domain W3C validator