MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neindisj2 21206
Description: A point 𝑃 belongs to the closure of a set 𝑆 iff every neighborhood of 𝑃 meets 𝑆. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐽   𝑃,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21elcls 21156 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
31isneip 21188 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑛𝑋 ∧ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛))))
4 r19.29r 3219 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐽 ((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
5 pm3.35 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥 ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥𝑆) ≠ ∅)
6 ssrin 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑛 → (𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆))
7 sseq2 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑆) = ∅ → ((𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆) ↔ (𝑥𝑆) ⊆ ∅))
8 ss0 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑆) ⊆ ∅ → (𝑥𝑆) = ∅)
97, 8syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑆) = ∅ → ((𝑥𝑆) ⊆ (𝑛𝑆) → (𝑥𝑆) = ∅))
106, 9syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑛 → ((𝑛𝑆) = ∅ → (𝑥𝑆) = ∅))
1110necon3d 2957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑛 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
125, 11syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑥 ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥𝑛 → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
1312ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑥 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑥𝑛 → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
1413com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑛 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
1514imp31 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
1615rexlimivw 3175 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐽 ((𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)
1817ex 401 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
1918adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑋 ∧ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥𝑥𝑛)) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
203, 19syl6bi 244 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
21203adant2 1161 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
2221com23 86 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛𝑆) ≠ ∅)))
2322imp 395 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛𝑆) ≠ ∅))
2423ralrimiv 3111 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅)
25 opnneip 21202 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
26 ineq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛𝑆) = (𝑥𝑆))
2726neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑛𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝑆) ≠ ∅))
2827rspccva 3459 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑥𝑆) ≠ ∅)
29 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑋 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
30293exp 1148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝑋 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3130com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑆) ≠ ∅ → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
3332ex 401 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3433com3l 89 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3525, 34mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑃𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))
36353expia 1150 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑃𝑥 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3736com25 99 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))))
3837ex 401 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))))
3938com25 99 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑃𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅ → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))))))
40393imp1 1456 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅) → (𝑥𝐽 → (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
4140ralrimiv 3111 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
4224, 41impbida 835 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
432, 42bitrd 270 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛𝑆) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055  cin 3730  wss 3731  c0 4078  {csn 4333   cuni 4593  cfv 6067  Topctop 20976  clsccl 21101  neicnei 21180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-top 20977  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181
This theorem is referenced by:  islp2  21228  trnei  21974  flimclsi  22060
  Copyright terms: Public domain W3C validator