Theorem neindisj2 23421

Description: A point 𝑃 belongs to the closure of a set 𝑆 iff every neighborhood of 𝑃 meets 𝑆. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neindisj2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐽   𝑃,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem neindisj2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	elcls 23371	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
3	1	isneip 23403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛))))
4		r19.29r 3127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
5		pm3.35 815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
6		ssrin 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑛 → (𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑛 ∩ 𝑆))
7		sseq2 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑆) = ∅ → ((𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑛 ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ ∅))
8		ss0 4352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) = ∅)
9	7, 8	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∩ 𝑆) = ∅ → ((𝑥 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑛 ∩ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝑆) = ∅))
10	6, 9	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑛 → ((𝑛 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) = ∅))
11	10	necon3d 2977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑛 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
12	5, 11	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑥 ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
13	12	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑥 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑥 ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
14	13	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝑛 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
15	14	imp31 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
16	15	rexlimivw 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
18	17	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19	18	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑛)) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
20	3, 19	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
21	20	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
22	21	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
23	22	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
24	23	ralrimiv 3154	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
25		opnneip 23417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
26		ineq1 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
27	26	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
28	27	rspccva 3576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
29		idd 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
30	29	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
31	30	com14 97	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
32	28, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
33	32	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
34	33	com3l 90	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
35	25, 34	mpcom 39	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
36	35	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ 𝑥 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
37	36	com25 100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ 𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))))
38	37	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))))
39	38	com25 100	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑋 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))))
40	39	3imp1 1366	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
41	40	ralrimiv 3154	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
42	24, 41	impbida 813	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
43	2, 42	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑛 ∩ 𝑆) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6531  Topctop 23191  clsccl 23316  neicnei 23395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-top 23192  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396

This theorem is used by:  islp2  23443  trnei  24191  flimclsi  24277