MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnpnei 23288
Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpnei.1 𝑋 = 𝐽
cnpnei.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnpnei (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌

Proof of Theorem cnpnei
Dummy variables 𝑔 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6102 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ⊆ dom 𝐹
2 fdm 6746 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
31, 2sseqtrid 4048 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
433ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
54ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
6 neii2 23132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
763ad2antl2 1185 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
87ad2ant2rl 749 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
9 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))
10 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝑔𝐾)
11 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴) ∈ V
1211snss 4790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑔 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔)
1312biimpri 228 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)
1514ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)
169, 10, 153jca 1127 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑔𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑔))
1716adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑔𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑔))
18 cnpimaex 23280 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑔𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑔) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔))
20 sstr2 4002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝑔𝑦 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
2120com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑦 → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
2221ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦)) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
2322ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
24 ffun 6740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
25243ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → Fun 𝐹)
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → Fun 𝐹)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → Fun 𝐹)
28 cnpnei.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = 𝐽
2928eltopss 22929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜𝑋)
3029adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜𝑋)
312sseq2d 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑜 ⊆ dom 𝐹𝑜𝑋))
3231ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → (𝑜 ⊆ dom 𝐹𝑜𝑋))
3330, 32mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
34333adantl2 1166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
3534adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
3635ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
37 funimass3 7074 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝑜 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑦𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
3827, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑦𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
3923, 38sylibd 239 . . . . . . . . 9 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
4039anim2d 612 . . . . . . . 8 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔) → (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦))))
4140reximdva 3166 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦))))
4219, 41mpd 15 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
438, 42rexlimddv 3159 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
4428isneip 23129 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
45443ad2antl1 1184 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
4645adantr 480 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
475, 43, 46mpbir2and 713 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → (𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
4847exp32 420 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) → (𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}) → (𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))))
4948ralrimdv 3150 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
50 simpll3 1213 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝐹:𝑋𝑌)
51 opnneip 23143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑜𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜) → 𝑜 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))
52 imaeq2 6076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑜 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑜))
5352eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑜 → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
5453rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑜 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑜𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
56553com23 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
57563expb 1119 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
58573ad2antl2 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
5958adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
60 neii2 23132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
6160ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
62613ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
6362ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
64 snssg 4788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑔 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑔))
6564ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → (𝐴𝑔 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑔))
6625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → Fun 𝐹)
6728eltopss 22929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔𝑋)
68673ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔𝑋)
692sseq2d 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑔 ⊆ dom 𝐹𝑔𝑋))
70693ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (𝑔 ⊆ dom 𝐹𝑔𝑋))
7170biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝑋) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
7268, 71syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
7372ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
74 funimass3 7074 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑔 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑔) ⊆ 𝑜𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
7566, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝐹𝑔) ⊆ 𝑜𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
7665, 75anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
7776biimprd 248 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → (({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)) → (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
7877reximdva 3166 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
7959, 63, 783syld 60 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
8079exp32 420 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → (𝑜𝐾 → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8180com24 95 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝑜𝐾 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8281imp 406 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝑜𝐾 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜))))
8382ralrimiv 3143 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
84 cnpnei.2 . . . . . . . . 9 𝑌 = 𝐾
8528, 84iscnp2 23263 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8685baib 535 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
87863expa 1117 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
88873adantl3 1167 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8988adantr 480 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
9050, 83, 89mpbir2and 713 . . 3 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))
9190ex 412 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴)))
9249, 91impbid 212 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  {csn 4631   cuni 4912  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Topctop 22915  neicnei 23121   CnP ccnp 23249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-nei 23122  df-cnp 23252
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator