MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnpnei 22161
Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpnei.1 𝑋 = 𝐽
cnpnei.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnpnei (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌

Proof of Theorem cnpnei
Dummy variables 𝑔 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5949 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ⊆ dom 𝐹
2 fdm 6554 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
31, 2sseqtrid 3953 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
433ad2ant3 1137 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
54ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
6 neii2 22005 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
763ad2antl2 1188 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
87ad2ant2rl 749 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ∃𝑔𝐾 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))
9 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))
10 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → 𝑔𝐾)
11 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴) ∈ V
1211snss 4699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑔 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔)
1312biimpri 231 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)
1413adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)
1514ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑔)
169, 10, 153jca 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑔𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑔))
1716adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑔𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑔))
18 cnpimaex 22153 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑔𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑔) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔))
20 sstr2 3908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝑔𝑦 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
2120com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑦 → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
2221ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦)) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
2322ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔 → (𝐹𝑜) ⊆ 𝑦))
24 ffun 6548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
25243ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → Fun 𝐹)
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → Fun 𝐹)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → Fun 𝐹)
28 cnpnei.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = 𝐽
2928eltopss 21804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜𝑋)
3029adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜𝑋)
312sseq2d 3933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑜 ⊆ dom 𝐹𝑜𝑋))
3231ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → (𝑜 ⊆ dom 𝐹𝑜𝑋))
3330, 32mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
34333adantl2 1169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
3534adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
3635ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → 𝑜 ⊆ dom 𝐹)
37 funimass3 6874 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝑜 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑦𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
3827, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑦𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
3923, 38sylibd 242 . . . . . . . . 9 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐹𝑜) ⊆ 𝑔𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
4039anim2d 615 . . . . . . . 8 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔) → (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦))))
4140reximdva 3193 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → (∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜 ∧ (𝐹𝑜) ⊆ 𝑔) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦))))
4219, 41mpd 15 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) ∧ (𝑔𝐾 ∧ ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝑔𝑔𝑦))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
438, 42rexlimddv 3210 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))
4428isneip 22002 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
45443ad2antl1 1187 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
4645adantr 484 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑜 ⊆ (𝐹𝑦)))))
475, 43, 46mpbir2and 713 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))) → (𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
4847exp32 424 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) → (𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}) → (𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))))
4948ralrimdv 3109 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
50 simpll3 1216 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝐹:𝑋𝑌)
51 opnneip 22016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑜𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜) → 𝑜 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}))
52 imaeq2 5925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑜 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑜))
5352eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑜 → ((𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ↔ (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
5453rspcv 3532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑜 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)}) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑜𝐾 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
56553com23 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
57563expb 1122 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
58573ad2antl2 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
5958adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
60 neii2 22005 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
6160ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
62613ad2ant1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
6362ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → ((𝐹𝑜) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
64 snssg 4698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑔 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑔))
6564ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → (𝐴𝑔 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑔))
6625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → Fun 𝐹)
6728eltopss 21804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔𝑋)
68673ad2antl1 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔𝑋)
692sseq2d 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑔 ⊆ dom 𝐹𝑔𝑋))
70693ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (𝑔 ⊆ dom 𝐹𝑔𝑋))
7170biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝑋) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
7268, 71syldan 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
7372ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → 𝑔 ⊆ dom 𝐹)
74 funimass3 6874 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑔 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑔) ⊆ 𝑜𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
7566, 73, 74syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝐹𝑔) ⊆ 𝑜𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)))
7665, 75anbi12d 634 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜))))
7776biimprd 251 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) ∧ 𝑔𝐽) → (({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)) → (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
7877reximdva 3193 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∃𝑔𝐽 ({𝐴} ⊆ 𝑔𝑔 ⊆ (𝐹𝑜)) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
7959, 63, 783syld 60 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜𝑜𝐾)) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
8079exp32 424 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → (𝑜𝐾 → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8180com24 95 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → (𝑜𝐾 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8281imp 410 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝑜𝐾 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜))))
8382ralrimiv 3104 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))
84 cnpnei.2 . . . . . . . . 9 𝑌 = 𝐾
8528, 84iscnp2 22136 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8685baib 539 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
87863expa 1120 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
88873adantl3 1170 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
8988adantr 484 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) ∈ 𝑜 → ∃𝑔𝐽 (𝐴𝑔 ∧ (𝐹𝑔) ⊆ 𝑜)))))
9050, 83, 89mpbir2and 713 . . 3 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴))
9190ex 416 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴)))
9249, 91impbid 215 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝐴)})(𝐹𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  wss 3866  {csn 4541   cuni 4819  ccnv 5550  dom cdm 5551  cima 5554  Fun wfun 6374  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  Topctop 21790  neicnei 21994   CnP ccnp 22122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-map 8510  df-top 21791  df-topon 21808  df-nei 21995  df-cnp 22125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator