Theorem isoco 17587

Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isoco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isoco.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isoco.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isoco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isoco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
isoco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
isoco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
isoco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Proof of Theorem isoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isoco.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isoco.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isoco.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isoco.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		isoco.n	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		isoco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		isoco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
9		isoco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10		isoco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
11	1, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 9, 5, 10	invco 17581	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑍)(((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)((𝑌(Inv‘𝐶)𝑍)‘𝐺)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	inviso1 17576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4580  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  Basecbs 17010  compcco 17072  Catccat 17471  Invcinv 17555  Isociso 17556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-cat 17475  df-cid 17476  df-sect 17557  df-inv 17558  df-iso 17559

This theorem is referenced by:  cictr  17615