Theorem isoco 17730

Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isoco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isoco.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isoco.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isoco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isoco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
isoco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
isoco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
isoco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Proof of Theorem isoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isoco.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isoco.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isoco.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isoco.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		isoco.n	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		isoco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		isoco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
9		isoco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10		isoco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
11	1, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 9, 5, 10	invco 17724	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑍)(((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)((𝑌(Inv‘𝐶)𝑍)‘𝐺)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	inviso1 17719	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  compcco 17215  Catccat 17614  Invcinv 17698  Isociso 17699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-cat 17618  df-cid 17619  df-sect 17700  df-inv 17701  df-iso 17702

This theorem is referenced by:  cictr  17758