Theorem isoco 17872

Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isoco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isoco.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isoco.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isoco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isoco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
isoco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
isoco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
isoco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Proof of Theorem isoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isoco.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isoco.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isoco.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isoco.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		isoco.n	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		isoco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		isoco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
9		isoco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10		isoco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
11	1, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 9, 5, 10	invco 17866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑍)(((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)((𝑌(Inv‘𝐶)𝑍)‘𝐺)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	inviso1 17861	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  compcco 17360  Catccat 17758  Invcinv 17840  Isociso 17841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-cat 17762  df-cid 17763  df-sect 17842  df-inv 17843  df-iso 17844

This theorem is used by:  cictr  17900