Theorem isoco 17792

Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isoco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isoco.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isoco.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isoco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isoco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
isoco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
isoco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
isoco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Proof of Theorem isoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isoco.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2734	. 2 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3		isoco.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		isoco.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		isoco.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
6		isoco.n	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		isoco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		isoco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
9		isoco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10		isoco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
11	1, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 9, 5, 10	invco 17786	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑍)(((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹)(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)((𝑌(Inv‘𝐶)𝑍)‘𝐺)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	inviso1 17781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4612  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229  compcco 17285  Catccat 17678  Invcinv 17760  Isociso 17761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-cat 17682  df-cid 17683  df-sect 17762  df-inv 17763  df-iso 17764

This theorem is referenced by:  cictr  17820