Theorem 1pthd 30072

Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
1wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 1pthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7		1wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		1wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1trld 30071	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	1, 2	1pthdlem1 30064	. . . 4 ⊢ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
13	1, 2	1pthdlem2 30065	. . . 4 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
15		ispth 29651	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
16	10, 12, 14, 15	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
17	9, 16	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  ⟨“cs1 14560  ⟨“cs2 14807  Vtxcvtx 28923  iEdgciedg 28924  Trailsctrls 29618  Pathscpths 29640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-wlks 29527  df-trls 29620  df-pths 29644

This theorem is referenced by:  1pthond  30073  upgr1pthd  30078