Theorem 1pthd 30129

Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
1wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 1pthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7		1wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		1wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1trld 30128	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	1, 2	1pthdlem1 30121	. . . 4 ⊢ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
13	1, 2	1pthdlem2 30122	. . . 4 ⊢ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
15		ispth 29708	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
16	10, 12, 14, 15	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
17	9, 16	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  {cpr 4608   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  ⟨“cs1 14618  ⟨“cs2 14865  Vtxcvtx 28980  iEdgciedg 28981  Trailsctrls 29675  Pathscpths 29697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-wlks 29584  df-trls 29677  df-pths 29701

This theorem is referenced by:  1pthond  30130  upgr1pthd  30135