MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1pthd 28082
Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
1wlkd.l ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
1wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1pthd (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 1pthd
StepHypRef Expression
1 1wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2 1wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3 1wlkd.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
4 1wlkd.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
5 1wlkd.l . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
6 1wlkd.j . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
7 1wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 1wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81trld 28081 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
111, 21pthdlem1 28074 . . . 4 Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))
1211a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
131, 21pthdlem2 28075 . . . 4 ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
1413a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
15 ispth 27666 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
1610, 12, 14, 15syl3anbrc 1344 . 2 ((𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
179, 16mpdan 687 1 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cin 3842  wss 3843  c0 4211  {csn 4516  {cpr 4518   class class class wbr 5030  ccnv 5524  cres 5527  cima 5528  Fun wfun 6333  cfv 6339  (class class class)co 7172  0cc0 10617  1c1 10618  ..^cfzo 13126  chash 13784  ⟨“cs1 14040  ⟨“cs2 14294  Vtxcvtx 26943  iEdgciedg 26944  Trailsctrls 27634  Pathscpths 27655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-hash 13785  df-word 13958  df-concat 14014  df-s1 14041  df-s2 14301  df-wlks 27543  df-trls 27636  df-pths 27659
This theorem is referenced by:  1pthond  28083  upgr1pthd  28088
  Copyright terms: Public domain W3C validator