MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdivtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdivtx 29761
Description: The inner vertices of a path are distinct from all other vertices. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdivtx ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))

Proof of Theorem pthdivtx
StepHypRef Expression
1 ispth 29755 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2 trliswlk 29729 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 eqid 2734 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 29648 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5 elfz0lmr 13817 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)))
6 elfzo1 13748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)))
7 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
873ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
96, 8sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
11 fvinim0ffz 13821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
1210, 11sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
13 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = 0 → (𝑃𝐽) = (𝑃‘0))
1413eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = 0 → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
1514ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
16 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Fun 𝑃)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → Fun 𝑃)
18 fdm 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
19 fzo0ss1 13725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
20 fzossfz 13714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2119, 20sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2221sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ dom 𝑃𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
2422, 23imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2625imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐼 ∈ dom 𝑃)
2717, 26jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
2827adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
29 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30 funfvima 7249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3128, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
32 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3331, 32syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3415, 33sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
35 nnel 3053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
3634, 35imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3736necon2ad 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3837adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3912, 38sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4039ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4241a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
43423imp 1110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4544a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4645ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = 0 → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
47 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
5049eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼))
51 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5251ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5352eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐽) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽))
5450, 53eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽)))
55 fssres 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5621, 55mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
57 df-f1 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))))
5857biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
5956, 58sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
60593adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
6261ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
63 f1veqaeq 7276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6460, 62, 63syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6554, 64sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6665ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6766necon3d 2958 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
6867ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
6968com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
7069ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
719adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7271, 11sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
73 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝑃𝐽) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
7473eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = (♯‘𝐹) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7574ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7627adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
77 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
7876, 77, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
79 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8078, 79syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8175, 80sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
82 nnel 3053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
8381, 82imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8483necon2ad 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8584adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8672, 85sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8786ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8887com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8988a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
90893imp 1110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
9392ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
9446, 70, 933jaoi 1427 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
955, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
96953imp21 1113 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9796com12 32 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
98973exp 1118 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
992, 4, 983syl 18 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
100993imp 1110 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
1011, 100sylbi 217 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
102101imp 406 1 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wnel 3043  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {cpr 4632   class class class wbr 5147  ccnv 5687  dom cdm 5688  cres 5690  cima 5691  Fun wfun 6556  wf 6558  1-1wf1 6559  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292  cn 12263  0cn0 12523  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  chash 14365  Vtxcvtx 29027  Walkscwlks 29628  Trailsctrls 29722  Pathscpths 29744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-wlks 29631  df-trls 29724  df-pths 29748
This theorem is referenced by:  pthdadjvtx  29762  upgr4cycl4dv4e  30213
  Copyright terms: Public domain W3C validator