MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdivtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdivtx 27522
Description: The inner vertices of a path are distinct from all other vertices. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdivtx ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))

Proof of Theorem pthdivtx
StepHypRef Expression
1 ispth 27516 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2 trliswlk 27491 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 eqid 2801 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 27410 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5 elfz0lmr 13151 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)))
6 elfzo1 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)))
7 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
873ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
96, 8sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
109adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
11 fvinim0ffz 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
1210, 11sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
13 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = 0 → (𝑃𝐽) = (𝑃‘0))
1413eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = 0 → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
1514ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
16 ffun 6494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Fun 𝑃)
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → Fun 𝑃)
18 fdm 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
19 fzo0ss1 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
20 fzossfz 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2119, 20sstri 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2221sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23 eleq2 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ dom 𝑃𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
2422, 23syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2625imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐼 ∈ dom 𝑃)
2717, 26jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
2827adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
29 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30 funfvima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3128, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
32 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3331, 32syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3415, 33sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
35 nnel 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
3634, 35syl6ibr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3736necon2ad 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3837adantrd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3912, 38sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4039ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4241a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
43423imp 1108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4544a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4645ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = 0 → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
47 fvres 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4847adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4948adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
5049eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼))
51 fvres 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5352eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐽) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽))
5450, 53eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽)))
55 fssres 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5621, 55mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
57 df-f1 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))))
5857biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
5956, 58sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
60593adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
61 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
6261ancomd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
63 f1veqaeq 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6460, 62, 63syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6554, 64sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6665ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6766necon3d 3011 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
6867ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
6968com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
7069ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
719adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7271, 11sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
73 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝑃𝐽) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
7473eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = (♯‘𝐹) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7627adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
77 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
7876, 77, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
79 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8078, 79syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8175, 80sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
82 nnel 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
8381, 82syl6ibr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8483necon2ad 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8584adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8672, 85sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8786ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8887com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8988a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
90893imp 1108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
9392ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
9446, 70, 933jaoi 1424 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
955, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
96953imp21 1111 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9796com12 32 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
98973exp 1116 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
992, 4, 983syl 18 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
100993imp 1108 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
1011, 100sylbi 220 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
102101imp 410 1 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wnel 3094  cin 3883  wss 3884  c0 4246  {cpr 4530   class class class wbr 5033  ccnv 5522  dom cdm 5523  cres 5525  cima 5526  Fun wfun 6322  wf 6324  1-1wf1 6325  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   < clt 10668  cn 11629  0cn0 11889  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  chash 13690  Vtxcvtx 26793  Walkscwlks 27390  Trailsctrls 27484  Pathscpths 27505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-wlks 27393  df-trls 27486  df-pths 27509
This theorem is referenced by:  pthdadjvtx  27523  upgr4cycl4dv4e  27974
  Copyright terms: Public domain W3C validator