MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdivtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdivtx 26915
Description: The inner vertices of a path are distinct from all other vertices. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdivtx ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))

Proof of Theorem pthdivtx
StepHypRef Expression
1 ispth 26909 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2 trliswlk 26884 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 eqid 2764 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 26802 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5 elfz0lmr 12790 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)))
6 elfzo1 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)))
7 nnnn0 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
873ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
96, 8sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
11 fvinim0ffz 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
1210, 11sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
13 fveq2 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = 0 → (𝑃𝐽) = (𝑃‘0))
1413eqeq2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = 0 → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
1514ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
16 ffun 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Fun 𝑃)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → Fun 𝑃)
18 fdm 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
19 fzo0ss1 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
20 fzossfz 12695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2119, 20sstri 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2221sseli 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23 eleq2 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ dom 𝑃𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
2422, 23syl5ibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2625imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐼 ∈ dom 𝑃)
2717, 26jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
2827adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
29 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30 funfvima 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3128, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
32 eleq1 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3331, 32syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3415, 33sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
35 nnel 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
3634, 35syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3736necon2ad 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3837adantrd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3912, 38sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4039ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4241a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
43423imp 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4544a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4645ex 401 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = 0 → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
47 fvres 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
5049eqcomd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼))
51 fvres 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5251ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5352eqcomd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐽) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽))
5450, 53eqeq12d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽)))
55 fssres 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5621, 55mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
57 df-f1 6072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))))
5857biimpri 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
5956, 58sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
60593adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
61 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
6261ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
63 f1veqaeq 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6460, 62, 63syl2an2r 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6554, 64sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6665ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6766necon3d 2957 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
6867ex 401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
6968com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
7069ex 401 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
719adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7271, 11sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
73 fveq2 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝑃𝐽) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
7473eqeq2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = (♯‘𝐹) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7574ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7627adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
77 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
7876, 77, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
79 eleq1 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8078, 79syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8175, 80sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
82 nnel 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
8381, 82syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8483necon2ad 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8584adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8672, 85sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8786ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8887com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8988a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
90893imp 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
9392ex 401 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
9446, 70, 933jaoi 1552 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
955, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
96953imp21 1141 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9796com12 32 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
98973exp 1148 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
992, 4, 983syl 18 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
100993imp 1137 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
1011, 100sylbi 208 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
102101imp 395 1 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1106  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wnel 3039  cin 3730  wss 3731  c0 4078  {cpr 4335   class class class wbr 4808  ccnv 5275  dom cdm 5276  cres 5278  cima 5279  Fun wfun 6061  wf 6063  1-1wf1 6064  cfv 6067  (class class class)co 6841  0cc0 10188  1c1 10189   < clt 10327  cn 11273  0cn0 11537  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  chash 13320  Vtxcvtx 26164  Walkscwlks 26782  Trailsctrls 26877  Pathscpths 26898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-ifp 1086  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13486  df-wlks 26785  df-trls 26879  df-pths 26902
This theorem is referenced by:  pthdadjvtx  26916  upgr4cycl4dv4e  27420
  Copyright terms: Public domain W3C validator