MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdivtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdivtx 27218
Description: The inner vertices of a path are distinct from all other vertices. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdivtx ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))

Proof of Theorem pthdivtx
StepHypRef Expression
1 ispth 27212 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2 trliswlk 27185 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 eqid 2778 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 27101 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5 elfz0lmr 12967 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)))
6 elfzo1 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)))
7 nnnn0 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
873ad2ant2 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
96, 8sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
109adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
11 fvinim0ffz 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
1210, 11sylan2 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
13 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = 0 → (𝑃𝐽) = (𝑃‘0))
1413eqeq2d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = 0 → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
1514ad2antrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
16 ffun 6347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Fun 𝑃)
1716adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → Fun 𝑃)
18 fdm 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
19 fzo0ss1 12882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
20 fzossfz 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2119, 20sstri 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
2221sseli 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23 eleq2 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ dom 𝑃𝐼 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
2422, 23syl5ibr 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2625imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐼 ∈ dom 𝑃)
2717, 26jca 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
2827adantrl 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
29 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30 funfvima 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3128, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
32 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3331, 32syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3415, 33sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
35 nnel 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
3634, 35syl6ibr 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
3736necon2ad 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3837adantrd 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
3912, 38sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4039ex 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4241a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
43423imp 1091 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4544a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4645ex 405 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = 0 → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
47 fvres 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4847adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
4948adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
5049eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼))
51 fvres 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5251ad2antrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5352eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐽) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽))
5450, 53eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽)))
55 fssres 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5621, 55mpan2 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
57 df-f1 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))))
5857biimpri 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
5956, 58sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
60593adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
61 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
6261ancomd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
63 f1veqaeq 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))):(1..^(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6460, 62, 63syl2an2r 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6554, 64sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6665ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6766necon3d 2988 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
6867ex 405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
6968com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
7069ex 405 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
719adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7271, 11sylan2 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))))
73 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝑃𝐽) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
7473eqeq2d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = (♯‘𝐹) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7574ad2antrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
7627adantrl 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
77 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
7876, 77, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
79 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8078, 79syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8175, 80sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
82 nnel 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
8381, 82syl6ibr 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
8483necon2ad 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8584adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8672, 85sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8786ex 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8887com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
8988a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
90893imp 1091 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
9392ex 405 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (♯‘𝐹) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
9446, 70, 933jaoi 1407 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
955, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
96953imp21 1094 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9796com12 32 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
98973exp 1099 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
992, 4, 983syl 18 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
100993imp 1091 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
1011, 100sylbi 209 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
102101imp 398 1 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3o 1067  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wnel 3073  cin 3828  wss 3829  c0 4178  {cpr 4443   class class class wbr 4929  ccnv 5406  dom cdm 5407  cres 5409  cima 5410  Fun wfun 6182  wf 6184  1-1wf1 6185  cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336   < clt 10474  cn 11439  0cn0 11707  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  chash 13505  Vtxcvtx 26484  Walkscwlks 27081  Trailsctrls 27178  Pathscpths 27201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-hash 13506  df-word 13673  df-wlks 27084  df-trls 27180  df-pths 27205
This theorem is referenced by:  pthdadjvtx  27219  upgr4cycl4dv4e  27714
  Copyright terms: Public domain W3C validator